Circunferência, IME/ITA nível 2

Seja f(x) = x² - 6x + 7 e seja R a região dos pontos (x, y) do plano que satisfazem f(x) + f(y) ≤ 0 e f(x) - f(y) ≥ 0. Qual a área de R?

Gabarito:

f(x) + f(y) =< 0 
x²-6x+7+y²-6y+7 =< 0
(x-3)²-9+7+(y-3)²-9+7 =< 0
(x-3)²+(y-3)² =< 4  -> Região interna da circunferÊncia de raio 2 centrada em (3, 3)

f(x)-f(y) >= 0
Fazendo de forma similar, você vai achar 
x²-6x-y²+6y >= 0
(x+y)(x-y)-6x+6y >= 0
(x+y)(x-y)-6(x-y) >= 0
(x-y)(x+y-6) >= 0
x>=y, x+y-6 >=0
x >= y e y >= 6-x -> 6-x =< y =< x
Ou
x =< y e x+y-6 =<0
x =< y e y =< 6-x -> x =< y =< 6-x

Perceba que x =< y =< 6-x U 6-x =< y =< x é a região entre as retas y=6-x e y=x.
São dois intervalos, pois há um intervalo em que y=x é menor que y=6-x, e após a interseção entre as retas, y=x é maior que y=6-x. Achando a interseção: x=6-x -> x=3, y=3. As retas se interceptam em (3,3). Ou seja, x =< y =< 6-x para x=<3 e 6-x =< y =< x para x>=3.

Queremos a área entre as retas y=x e y=6-x dentro da circunferência de raio 2 e centro (3,3). Perceba que (3,3) é também o ponto de interseção entre as retas, portanto as áreas serão setores circulares da circunferência(não por acaso, se não a questão seria muito mais difícil). Portanto, a área desejada, é a área da região em vermelho abaixo:

Questãozinha longa em... Bem, são a área de dois setores circulares. Aqui teria várias formas de achar o ângulo, mas perceba que as retas x e -x+6 têm coeficientes angulares opostos, ou seja, são perpendiculares. (A condição de perpendicularidade de duas retas com coef angular m e n é m*n=-1). Portanto, o angulo entre elas é 90 graus, e o setor é exatamente 1/4 da área da circunferência de raio 2. A área dos 2 setores será pi*r²/2 = pi*2²/2 = 2pi u.a.

Tinha travado na parte de fatorar para achar as duas retas, obrigado!

Muito boa explicação, obrigado também!