(ITA-SP) Trigonometria

Determine o valor de K para que as raízes da equação do segundo grau (K-5)x²-4Kx+(K-2)=0 sejam o seno e o cosseno de um mesmo arco.

Calcule ∆ = b² - 4.ac ---> ∆ = (-4.k)² - 4.(k - 5).(k - 2)

Calcule as raízes:

x' = (4.k + √∆)/2.(k - 5) ---> senθ = (4.k + √∆)/2.(k - 5) ---> I

x" = (4.k - √∆)/2.(k - 5) ---> cosθ = (4.k - √∆)/2.(k - 5) ---> II

sen²θ + cos²θ = 1 ---> Substitua I e II e calcule k

Valeu, mestre !

Elcioschin escreveu:Calcule ∆ = b² - 4.ac ---> ∆ = (-4.k)² - 4.(k - 5).(k - 2)

Calcule as raízes:

x' = (4.k + √∆)/2.(k - 5) ---> senθ = (4.k + √∆)/2.(k - 5) ---> I

x" = (4.k - √∆)/2.(k - 5) ---> cosθ = (4.k - √∆)/2.(k - 5) ---> II

sen²θ + cos²θ = 1 ---> Substitua I e II e calcule k

Poderia explicar o pq considerou x' como sendo sen0 e x" o cos0 ?

Tanto faz qual se x' = senθ (e x" = cosθ) ou se x' = cosθ (e x" = senθ)


O importante é que sen²θ + cos²θ = 1

Tenho algumas dúvidas nessa questão:

I) Para existirem raízes na equação devemos calcular o ∆ sendo ∆ ≥ 0 ou ∆ > 0? (Acredito que seja ∆ ≥ 0, pois o fato de senθ e cosθ serem do mesmo arco não necessariamente implica que senθ = cosθ, mas também não implica que sejam diferentes. Então por exemplo se θ = 45^o acaba que senθ = cosθ, se θ = 225^o temos também que senθ = cosθ. Meu raciocínio é válido?)

II) Caso o enunciado dissesse que as raízes da equação são DUPLAS (logo iguais) então eu deveria calcular ∆ = 0, (-b/a) = ±­√2 e (c/a) = ±­(1/2)?

Graphiel404 escreveu:Tenho algumas dúvidas nessa questão:

I) Para existirem raízes na equação devemos calcular o ∆ sendo ∆ ≥ 0 ou ∆ > 0? (Acredito que seja ∆ ≥ 0, pois o fato de senθ e cosθ serem do mesmo arco não necessariamente implica que senθ = cosθ, mas também não implica que sejam diferentes. Então por exemplo se θ = 45^o acaba que senθ = cosθ, se θ = 225^o temos também que senθ = cosθ. Meu raciocínio é válido?)

II) Caso o enunciado dissesse que as raízes da equação são DUPLAS (logo iguais) então eu deveria calcular ∆ = 0, (-b/a) = ±­√2 e (c/a) = ±­(1/2)?

I) Raciocínio correto, mas veja a ressalva abaixo.
II) Se a raiz fosse dupla, delta seria nulo, mas seria prudente verificar se a raiz está entre -1 e 1 para poder ser de fato valores atribuíveis a um seno ou a um cosseno. Naturalmente, a raiz teria que ser +-1/sqrt(2), o que recairia no caso da pergunta I).