trigonometria

Me corrija se eu estiver errada, mas creio que o seu enunciado esteja incorreto e a função correta seja: f(x)=cos²(2x)-sin²(2x). Digo isso, pois o gabarito que você postou não coincide com as características da função indicada pelo enunciado.

[latex]\\\mathrm{Identidade\ trigon.:\ cos^2(y)-sin^2(y)=cos(2y)}\\\\\mathrm{Para\ y=2x:\ cos^2(2x)-sin^2(2x)=cos(4x)}\\\\\mathrm{\therefore \ f(x)=cos^2(2x)-sin^2(2x)=cos(4x)}\\\\\mathrm{cos(\theta )\in [-1,1]\ \therefore \ \theta =4x\to cos(4x)\in [-1,1]\ \therefore \ Im(f)=[-1,1]}\\\\\mathrm{f(x)=a+bcos(cx+d),\ em\ que\ T=\frac{2\pi }{|c|}}\\\\\mathrm{f(x)=cos(4x)\ \therefore \ a=d=0,b=1,c=4\ \therefore \ T_{f(x)}=\frac{2\pi }{|4|}=\frac{\pi}{2}\ rad}[/latex]

Quanto ao domínio, faça o esboço de f(x) para verificar que, de fato, o domínio de f(x) corresponde ao conjunto dos números reais.

Se houver dúvidas, avise.