AFA 2018-2019 Energia Mecânica, Momento Linear, Colisão

AFA A montagem da figura a seguir ilustra a descida de uma partícula 1 ao longo de um trilho curvilíneo. Partindo do repouso em A, a partícula chega ao ponto B, que está a uma distância vertical H abaixo do ponto A, de onde, então, é lançada obliquamente, com um ângulo de 45º com a horizontal. 



A partícula, agora, descreve uma trajetória parabólica e, ao atingir seu ponto de altura máxima, nessa trajetória, ela se acopla a uma partícula 2, sofrendo, portanto, uma colisão inelástica. Essa segunda partícula possui o dobro de massa da primeira, está em repouso antes da colisão e está presa ao teto por um fio ideal, de comprimento maior que H, constituindo, assim, um pêndulo. Considerando que apenas na colisão atuaram forças dissipativas, e que o campo gravitacional local é constante. O sistema formado pelas partículas 1 e 2 atinge uma altura máxima h igual a

a) H/3 
b) H/9
c) H/16
d) H/18

Gabarito: D

Se possível com resolução, por favor.

Questão boa, vamos por partes:

\\\text{De A a B:}\\
m_1gH=\frac{m_1v_1^2}{2}\\
v_1^2=2gH \to \text{velocidade de m1 em B}\\

No ponto mais alto da trajetória, a partícula 1 terá velocidade apenas no eixo x:

\\v_{1,x}=v_1\cos\theta\\

Imediatamente após a colisão, calculamos a velocidade inicial do sistema usando a conservação da quantidade de movimento:

\\m_1v_{1,x}=(m_1+m_2)v\\\\
v=\frac{m_1v_{1,x}}{m_1+m_2}\\

Energia cinética do sistema após a colisão:

\\E_c=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}\\\\
E_c=\frac{1}{2}\cdot(m_1+m_2)(\frac{m_1v_{1,x}}{m_1+m_2})^2\\\\
E_c=\frac{1}{2}\cdot\frac{(m_1^2v_{1,x}^2)}{m_1+m_2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{m_1^2\cdot2gH\cos^2\theta}{m_1+m_2}\\\\
E_c=E_p\\\\
\frac{1}{2}\cdot\frac{m_1^2\cdot2gH\cos^2\theta}{m_1+m_2}=(m_1+m_2)gh\\\\
\boxed{h=\frac{m_1^2\cdot H\cos^2\theta}{(m_1+m_2)^2}}\\\\
\text{Inserindo valores:}\\
\theta=45\degree\\
m_2=2m_1\\\\
h=\frac{m_1^2\cdot H\cdot\frac{1}{2}}{9m_1^2}=\frac{H}{18}

Muito obrigado!