Função Logaritmo

(ITA) Considerando A(x)=log[½ ] (2x² + 4x + 3), Ax ∈ ℝ então temos:

(A) A(x) > 1, para algum x ∈ ℝ , x > 1.
(B) A(x) = 1, para algum x ∈ ℝ. 
(C) A(x) < 1, apenas para x ∈ ℝ tal que 0 < x < 1. 
(D) A(x) > 1, para cada x ∈ ℝ tal que 0 < x < 1. 
(E) A(x) < 1, para cada x ∈ ℝ. 

gab E)

Primeiro verificamos a condição de existência:

2x² + 4x + 3 > 0

logo a existência se dá para todo x real.

Depois usamos as propriedades dos logaritmos e escrevemos os dois lados na mesma base.

Assim temos:

log[1/2] (2x² + 4x + 3) > log[1/2] (1/2)

log[1/2] (2x² + 4x + 3) = log[1/2] (1/2)

log[1/2] (2x² + 4x + 3) < log[1/2] (1/2)

Como a base está entre 0 e 1 devemos inverter as desigualdades para os logaritmandos e teremos:

I) 2x² + 4x + 3 < 1/2

II) 2x² + 4x + 3 = 1/2

III) 2x² + 4x + 3 > 1/2

Resolvendo essas equações e inequações do 2º grau, encontramos solução apenas para III e a solução é igual aos números reais, portando a intersecção com a existência é o próprio conjunto dos números reais e a resposta é a alternativa E.