Quadrante

A figura abaixo representa um quadrante de um círculo de centro A e raio R.Considere o semicírculo de diâmetro AB que é interior ao quadrante.Determine a medida do raio do círculo que tangência AC,a curva BC e o semicírculo
a)R/3
b)R/6
c)R/4
d)9R/32
e)7R/27

Dicas

Sejam O o centro do semicírculo e P o centro do círculo menor, de raio r
Sejam D o pé da perpendicular de P sobre AB, e E, F os pontos de tangência do círculo de raio r com AC e arco BC
Seja T o ponto de tangência entre o círculo o semi-círculo

AB = AC = R ---> OA = OB = OT = R/2

PE = PF = PT = R ---> AD = EF ---> AD = r

OD = OA - AD ---> OD = R/2 - r

OP = OT + PT ---> OP = R/2 + r

No triângulo retângulo OPD ---> DP² = OP² - OD² ---> calcule DP = √(2.R.r)

Sugestão: considere um sistema xOy co origem em A com AB no eixo X+ e AC no eixo Y-

1) Calcule a equação do quadrante de círculo de raio R e centro na origem
2) Idem do semi-círculo com raio R/2 e centro O(R/2, 0)
3) Idem do círculo de raio r e centro em P(r, -2.R.r)

Calcule as coordenadas de T(xT, yT) ---> PT² = (xT - xP)² + (yT - yP)² = r² --> Calcule r

gabriel10zika escreveu:A figura abaixo representa um quadrante de um círculo de centro A e raio R.Considere o semicírculo de diâmetro AB que é interior ao quadrante.Determine a medida do raio do círculo que tangência AC,a curva BC e o semicírculo
a)R/3
b)R/6
c)R/4
d)9R/32
e)7R/27

Resolvida por Elcioschin, raimundo pereira e Jowex.

https://pir2.forumeiros.com/t71238-area

Gabarito: c)R/4

desta vez eu não concordo Qwertus.

O tópico já existe para cálculo da área (apesar de que este tópico é apenas um subproduto dessa resolução) mas, além daquele ter a resolução segmentada em várias mensagens incompletas, há uma pergunta do Carlos Naval em aberto e confesso que fiquei com a mesma curiosidade.

Evidente que deve-se voltar àquele tópico mas a resposta ainda não está definitiva.

__________________________________EDIT

última forma, Qwertus. Analisando agora as respostas do Élcio neste e naquele tópico percebi que a dúvida do colega Carlos Naval já estava equacionada --a altura do centro do círculo pequeno até o eixo mais distante é √(2Rr).