Movimento Harmônico

Duas bolas idênticas A e B, cada uma com massa de 0,1 kg, são ligadas a duas molas idênticas e de massa desprezível, com constante elástica k = 0,1 N/m. O sistema massa-mola está vinculado a se mover no interior de um tubo circular liso e fixado no plano horizontal, como mostrado na figura. O centro de cada bola pode mover-se em uma circunferência de raio 0,06 m. Inicialmente, ambas as bolas são deslocadas de um ângulo θ = π/6 com relação ao diâmetro PQ da circunferência e liberadas a partir do repouso.


a) Mostre que o movimento subsequente das bolas A e B é periódico e determine seu período.


b) Determine a velocidade da bola A quando esta passa sobre o diâmetro PQ da circunferência. O comprimento natural das molas é igual à meia circunferência.

GAB: a) T = π s b) V = 0,02π m/s

Olá

a) A mola de cima está comprimida de duas vezes o arco PA=BQ, e a de baixo está alargada de dois arcos PA=BQ.

O comprimento desse arco vale PA= R x pi/6 = 0,06 x pi/6 = 0,01pi, logo a força em cada mola é em módulo F =  2 x 0,01pi x k. 

Como a bola está ligada às duas molas a força resultante nela é a força da mola de cima com a de baixo 
Fr =-2 x 0,01pi x k - 2 x 0,01pi x k, ajeitando essa conta Fr = -4 x k x 0,01pi (o sinal de menos indica que a força é restauradora).

Como 0,01pi é o comprimento da amplitude A do movimento e 4k é uma constante K, provamos que o movimento é um MHS. 

A constante desse movimento K vale 4k, sendo k a constante da mola. O período no MHS é dado por 
T= 2pi x sqrt m/K --> T= 2pi x sqrt 0,1/4 x 0,1 --> T= 2pi x sqrt 1/4, T= 2pi x 1/2 = pi segundos

b) A velocidade da bola quando ela passa pelo diâmetro é sua máxima velocidade.

V = w x A --> 2pi x 1/T x A --> 2pi x 1/pi x 0,01pi = 0,02pi metros/segundo.