Inequação trigonométrica

por **Emanuel Dias** Ter 12 Fev 2019, 14:30

É dada a equação:

(2cos²a)x²-(4cosa)x+(4cos²a-1)=0 Edit: sendo 0\leq \alpha \leq \pi

Para que valores de a a equação tem soluções reais?

Fiz assim:

\Delta =(4cos(a)^{2})-4(2cos^{2(a)}(cos^{2}(a)-1))

\Delta =-32cos^{4}a+24cos^{2}a\geq 0

-32u^{2}+24u\geq 0 \Leftrightarrow u=0 \Leftrightarrow u=\frac{3}{4}

0\leq cos^{2}(a)\leq \frac{3}{4}

Jogando no ciclo e ignorando o \frac{-\sqrt{3}}{2} pois precisa ser \geq 0

Solução:

\frac{\pi }{6}\leq a\leq \frac{\pi }{2} ou \frac{3\pi }{2}\leq a\leq \frac{11\pi }{6}

Gabarito:

\frac{\pi }{6}\leq a\leq \frac{5\pi }{6}

por **Giovana Martins** Ter 12 Fev 2019, 14:38

\\0\leq cos^2(a)\leq \frac{3}{4}\to 0\leq |cos(a)|\leq \frac{\sqrt{3}}{2}\\\\|cos(a)|\geq 0\to S_1=\mathbb{R}\\\\|cos(a)|\leq \frac{\sqrt{3}}{2}\to -\frac{\sqrt{3}}{2}\leq cos(a)\leq \frac{\sqrt{3}}{2}\to S_2=\left [\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6} \right ]\\\\S=S_1\ \cap \ S_2\to S=\left [\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6} \right ]

por **Emanuel Dias** Ter 12 Fev 2019, 14:47

Giovana Martins escreveu:
\\0\leq cos^2(a)\leq \frac{3}{4}\to 0\leq |cos(a)|\leq \frac{\sqrt{3}}{2}\\\\|cos(a)|\geq 0\to S_1=\mathbb{R}\\\\|cos(a)|\leq \frac{\sqrt{3}}{2}\to -\frac{\sqrt{3}}{2}\leq cos(a)\leq \frac{\sqrt{3}}{2}\to S_2=\left [\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6} \right ]\\\\S=S_1\ \cap \ S_2\to S=\left [\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6} \right ]

Por que |cos(\alpha )|\geq 0 É \mathbb{R}? Eu achei que fosse todos os valores a direita do eixo das ordenadas.

por **Giovana Martins** Ter 12 Fev 2019, 14:52

\\|cos(a)|\geq 0\to \sqrt{cos^2(a)}\geq 0\to \underline{cos^2(a)\geq 0}

Note que para qualquer valor de "a" a desigualdade sempre será satisfeita tendo em vista que "cos(a)" está elevado a um expoente par.

por **Emanuel Dias** Ter 12 Fev 2019, 14:54

Giovana Martins escreveu:
\\|cos(a)|\geq 0\to \sqrt{cos^2(a)}\geq 0\to \underline{cos^2(a)\geq 0}

Note que para qualquer valor de "a" a desigualdade sempre será satisfeita tendo em vista que "cos(a)" está elevado a um expoente par.

Claramente preciso revisar o volume sobre módulos. Obrigado.

por **Giovana Martins** Ter 12 Fev 2019, 15:23

Na resolução eu usei as seguintes propriedades:

|x| < k → -k < x < k

Embora exista uma outra propriedade interessante que sempre aparece:

|x| > k → x < -k v x > k