Equação trigonométrica

Relembrando a primeira mensagem :

Gostaria de ajuda para resolver essa questão por favor:

cossec^6 10\degree - cotg^6 10\degree - 3. cossec^2 10\degree . cotg^2 10\degree

Resposta:

Olha, já faz um tempão que eu aprendi essa demonstração. Na época eu a encontrei no livro do Titu Andreescu no livro "103 Trigonometry Problems", mas infelizmente eu não sei mais em qual questão que foi. Procure pelo livro na internet que você o encontrará em pdf.

lucrdjds escreveu:

vitorrochap2013 escreveu:Olá!

Uma outra possível solução um pouco mais trabalhosa:

E = cossec^6 (10) - cotg^6 (10) - 3cossec^2 (10)*cotg^2 (10)

E = (cossec^2 (10))^3 - (cotg^2 (10))^3 - 3cossec^2 (10)*cotg^2 (10)

E = (cossec^2 (10)) - (cotg^2 (10)) * (cossec^4 (10) + cotg^4 (10) + cossec^2 (10)* cotg^2 (10)) - 3cossec^2 (10)*cotg^2 (10)

E = cossec^4 (10) + cotg^4 (10) + cossec^2 (10)*cossec^2(10) -3cossec^2 (10)*cotg^2 (10)

E= (1 + cos^4 (10) - 2cos^2 (10))/sen^4 (10)

E=1


*Obs: Caso não entenda alguma passagem pode perguntar. 

Obrigado pela resposta amigo, porém restou uma dúvida. .

 = cossec^4 (10) + cotg^4 (10) + cossec^2 (10)*cossec^2(10) -3cossec^2 (10)*cotg^2 (10)

E= (1 + cos^4 (10) - 2cos^2 (10))/sen^4 (10)

Não entendi muito bem como isso aconteceu

Não há de quê!

Eu só deixei a cossecante e a cotangente em função de seno e cosseno nessa passagem. E na passagem de baixo eu usei a relação fundamental : (sen^2 (x) + cos^2 (x))^2 = 1^2  ---> sen^4 = 1+ cos^4(x) - 2cos^2 (x)

lucrdjds escreveu:Entendi, você teria alguma referência para que eu possa ver a demonstração? Vou anotar para usar pelo menos em provas objetivas. Agradeço pela ajuda

Demonstração:

cossec^6 (x) - cotg^6 (x) = 

= (cossec^2 (x) - cotg^2 (x)) * (cossec^4 (x) + cotg^4 (x) + cossec^2 (x)*cotg^2 (x)) = 

= 1* ( cossec^4 (x) + cotg^4 (x) - 2*cotg^2(x)*cossec^2(x) + 3 cossec^2(x)*cotg^2(x))=

=(cossc^2 (x) - cotg^2 (x))^2 + 3 cossec^2 (x) * cotg^2 (x)=

= 1 + 3 cossec^2 (x) * cotg^2 (x).

vitorrochap2013 escreveu:

lucrdjds escreveu:Entendi, você teria alguma referência para que eu possa ver a demonstração? Vou anotar para usar pelo menos em provas objetivas. Agradeço pela ajuda

Demonstração:

cossec^6 (x) - cotg^6 (x) = 

= (cossec^2 (x) - cotg^2 (x)) * (cossec^4 (x) + cotg^4 (x) + cossec^2 (x)*cotg^2 (x)) = 

= 1* ( cossec^4 (x) + cotg^4 (x) - 2*cotg^2(x)*cossec^2(x) + 3 cossec^2(x)*cotg^2(x))=

=(cossc^2 (x) - cotg^2 (x))^2 + 3 cossec^2 (x) * cotg^2 (x)=

= 1 + 3 cossec^2 (x) * cotg^2 (x).

Muito obrigado por sua ajuda.

Acho que estou com um pouco de dificuldade na parte de fatoração, se puder me ajudar por favor.
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\
a^6-b^6=(a^2-b^2)(a^4+ab+b^4)

Gostaria de saber se foi isso que foi feito.

E na linha de baixo, quando consigera cossec ^2 - cotg ^2 = 1, não entendi de onde surgiram os números 3 e 2 que multiplicam cossec*cotg.

Obrigado mais uma vez

*"Gostaria de saber se foi isso que foi feito..."  : 

Isso! Na verdade o produto ab está ao quadrado, experimenta trocar a^2 por X e b^2 por Y, você vai visualizar melhor a fatoração.

*"E na linha de baixo, quando consigera cossec ^2 - cotg ^2 = 1, não entendi de onde surgiram os números 3 e 2 que multiplicam cossec*cotg." :

 O que eu fiz foi escrever esse produto de maneira diferente para formar um quadrado perfeito no qual eu sabia o resultado.

Veja: k = 3k - 2k ou, 

(cotgx*cossecx)^2 = 3(cotgx*cossecx)^2 - 2(cotgx*cossecx)^2

Lembrete:
[latex]\csc\left ( x \right )=\frac{1}{\sin(x)}[/latex]

[latex]\cot\left ( x \right )=\frac{\cos\left ( x \right )}{\sin\left ( x \right )}[/latex]

[latex]\sin^2\left ( x \right )+\cos^2\left ( x \right )=1\therefore \boxed{1+\cot^2\left ( x \right )=\csc^2\left ( x \right )}\;(i)[/latex]

Solução alternativa:
[latex]\text{Fazendo, } a=\csc^2\left ( 10^{\circ} \right );\;b=\cot^2\left ( 10^{\circ} \right )\;(ii)[/latex]

[latex]\text{De }(i)\text{ e }(ii)[/latex]
[latex]\;1+b=a[/latex]

[latex]\text{Do enunciado e }(ii)[/latex]
[latex]a^3-b^3-3ab[/latex]

[latex]\text{Da\'{i}}[/latex]
[latex]a^3-b^3-3ab=\left ( 1+b \right )^3-b^3-3\left ( 1+b \right )b=1+3b+3b^2+b^3-b^3-3b-3b^2=1[/latex]