Espcex 2000 - Trigonometria

por JohnStark Sex 04 Jan 2019, 14:55

O número de soluções da equação sen^{4}x + cos^{4}x = 1, satisfazendo a condição 0\leq x< 2\pi, é

a) infinito
b) 4
c) 2
d) 1
e) 0

Gabarito: B

por **Giovana Martins** Sex 04 Jan 2019, 15:06

\\\left [sen^2(x)+cos^2(x) \right ]^2=1^2\\\\ sen^4(x)+cos^4(x)+2sen^2(x)cos^2(x)=1\\\\ sen^4(x)+cos^4(x)=1-\frac{4}{2}sen^2(x)cos^2(x)=1-\frac{1}{2}sen^2(2x)\\\\sen^4(x)+cos^4(x)=1\to 1-\frac{1}{2}sen^2(2x)=1\to sen(2x)=0\\\\sen(2x)=0\to x=k\pi\ (1)\ \vee\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi\ (2),k\in \mathbb{Z}\\\\(1):\ k=0,1\to S_1=\left \{ 0,\pi \right \}\ \wedge\ (2):\ k=0,1\to S_2=\left \{ \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right \}\\\\\therefore \ \boxed {S=\left \{ 0,\frac{\pi }{2},\pi,\frac{3\pi }{2} \right \}}

por JohnStark Sex 04 Jan 2019, 15:14

Não consegui entender muito bem... Não tem um outro jeito mais simples?

por **Giovana Martins** Sex 04 Jan 2019, 15:33

Vou detalhar um pouco mais. É sabido que a identidade fundamental trigonométrica é dada por sen²(x)+cos²(x)=1, certo?

Daí eu elevei ambos os lados da equação ao quadrado, porque é fácil ver que ao fazer isso vai surgir a expressão "sen⁴(x)+cos⁴(x)" que é a que foi dada pelo enunciado.

Só que ao elevar os dois lados da equação ao quadrado surgi também a expressão 2sen²(x)cos²(x), certo?

Daí é só lembrar da identidade trigonométrica 2sen(x)cos(x)=sen(2x), que é ligeiramente diferente da que obtemos ao elevarmos ambos os lados ao quadrado da equação anterior.

Tendo em vista que eu quero reduzir a expressão 2sen²(x)cos²(x) a algo semelhante a sen(2x), eu fiz a seguinte manipulação:

\\2sen^2(x)cos^2(x)=\left ( \frac{2}{2} \right )[2sen^2(x)cos^2(x)]=\left ( \frac{1}{2} \right )[4sen^2(x)cos^2(x)]=\\\\\left ( \frac{1}{2} \right ){[2sen(x)cos(x)][2sen(x)cos(x)]}=\frac{1}{2}[sen^2(2x)]

Daí eu só voltei na equação dada pela questão. Veja se agora dá para entender, do contrário é só falar.

Um outro jeito seria apelar para polinômios, veja:

\\sen^4(x)+cos^4(x)=1\to sen^4(x)+[1-sen^2(x)]^2=1\\\\sen^4(x)=y^2\ \therefore \ y^2+(1-y)^2=1\to y=0\ \vee\ y=1\\\\sen^4(x)=0\to S_1=\left \{ 0,\pi \right \}\\\\sen^4(x)=1\to S_2=\left \{ \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right \}\\\\\therefore \ \boxed {S=\left \{ 0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2} \right \}}

por **Mateus Meireles** Sex 04 Jan 2019, 15:48

Uma outra solução, que serve para problemas mais fortes da forma

\mathrm{sen^n x + cos^n x = 1 } , tal que \mathrm{n \geq 3}

__________________________________________________________________________________________________________

Da relação fundamental, obtemos

\mathrm{sen^4 x + cos^4 x = sen^2 x + cos^2 x }

\mathrm{sen^2 x(1 - sen^2x) + cos^2 x(1 - cos^2x) = 0}

Disso, nós temos que

\mathrm{sen^2 x(1 - sen^2x) \geq 0}
e
\mathrm{cos^2 x(1 - cos^2x) \geq 0}

Pois sabemos que \mathrm{-1 \leq sen^2x \leq 1} e \mathrm{-1 \leq cos^2x \leq 1}

Assim, para termos a igualdade pedida, devemos ter

\mathrm{sen^2 x(1 - sen^2x) = 0}
e
\mathrm{cos^2 x(1 - cos^2x) = 0}

Donde tiramos que as soluções são,

\mathrm{senx = 0\,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{x = 0} \,\,\, ou \,\,\, \boxed{x = \pi}}

\mathrm{cosx = 0\,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{x = \pi/2} \,\,\, ou \,\,\, \boxed{x = 3\pi/2}}

por **Giovana Martins** Sex 04 Jan 2019, 15:53

Obrigada por postar um método alternativo, Mateus.

Mateus, no inicio da sua resolução não deveria ser sen⁴(x)+cos⁴(x)=sen²(x)+cos²(x)?

por **Mateus Meireles** Sex 04 Jan 2019, 16:02

Isso, depois eu edito porque to de saída agora (não sei de onde eu tirei esse três)

por **Giovana Martins** Sex 04 Jan 2019, 16:03

Tudo certo Smile

, obrigada.

por **Elcioschin** Sex 04 Jan 2019, 17:28

Editado.

por **Giovana Martins** Sex 04 Jan 2019, 18:01

Obrigada, Élcio, porém ainda restaram alguns pequenos erros de expoente porque toda a resolução foi desenvolvida para o caso em que tem-se sen³(x)+cos³(x).