Valor numérico

por Eltonschelk Qui 03 Jan 2019, 01:22

Considerando que 0 < x < 1, podemos garantir que o valor de S = 1 + 2x + 3x² + 4x³ ⋯ Para x = 1/2 é:
A) 1;
B) 2;
C) 4;
D) 6;
E) 8.
---------------------------------
Como calcular essa soma infinita?

por **DanMurray** Qui 03 Jan 2019, 03:27

\\S=1+2x+3x^2+4x^3\dots\\\\
S\cdot x=x+2x^2+3x^3+4x^4\dots\\\\
S-S\cdot x=1+2x+3x^2+4x^3\dots -(x+2x^2+3x^3+4x^4\dots)\\\\
S-S\cdot x=1+x+x^2+x^3\dots\\\\
S(1-x)=1+x+x^2+x^3\dots\\\\
\text{A soma do lado direito}\;\acute{e}\;\text{uma PG de raz\~ao x:}\\\\
1+x+x^2+x^3\dots=\frac{1}{1-x}\\\\
S=(\frac{1}{1-x})/(1-x)\\\\
\boxed{S=\frac{1}{(1-x)^2}}\\\\\\
x=\frac{1}{2}\;\;\;\to\;\;\;S=\frac{1}{(1-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^2}=4

por **Mateus Meireles** Qui 03 Jan 2019, 03:31

Solução por derivada do Caique

https://pir2.forumeiros.com/t151066-soma-pg-infinita

por Eltonschelk Qui 03 Jan 2019, 15:25

Muito obrigado, pessoal!

por Francisco Daniel Qui 03 Jan 2019, 16:07

Dá para resolver utilizando ideias de Séries infinitas na forma de séries de potências, assunto que é visto em Cálculo II.

A série 1+2X+3X²+4x³+... pode ser representada como: \sum_{n=1}^{\infty }n\cdot x^{^{n-1}}

Dessa forma, como 1+x+x²+x³+...= \sum_{n=1}^{\infty } x^{n} e esta é uma série geométrica com a=1 e razão r=x temos que:
    \sum_{n=1}^{\infty } x^{n} = 1/(1-x) Portanto, usando a derivação de séries:

\sum_{n=1}^{\infty }n\cdot x^{^{n-1}} = \frac{\mathrm{d}\sum_{n=1}^{\infty } x^{n} }{\mathrm{d} x}
                                                          = \frac{\mathrm{d} [1/(1-x)]}{\mathrm{d} x}
                                                          = 1/(1-x)²
          Do enunciado da questão temos que x=1/2, logo:
1/(1-1/2)²=1/(1/2)²=1/(1/4)=4.                                    Resposta: 1+2x+3x²+4x³+... = 4 , quando x=1/2.

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