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Espcex 2018, Geometria plana triangulo

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Mateus Meireles
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Resolvido Espcex 2018, Geometria plana triangulo

Mensagem por Aprendiz de cadete Seg 31 Dez 2018, 11:59

Em um triângulo ABC, BC=12 cm e a mediana relativa a esse lado mede 6 cm. Sabendo-se que a mediana relativa ao lado AB mede 9 cm, qual a área desse triângulo? Espcex 2018, Geometria plana triangulo Forum_11


Última edição por Aprendiz de cadete em Seg 31 Dez 2018, 15:51, editado 1 vez(es)

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Resolvido Re: Espcex 2018, Geometria plana triangulo

Mensagem por Mateus Meireles Seg 31 Dez 2018, 12:39

Você já ouviu falar do "Teorema do k" ?

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Resolvido Re: Espcex 2018, Geometria plana triangulo

Mensagem por Aprendiz de cadete Seg 31 Dez 2018, 12:45

Mateus Meireles escreveu:Você já ouviu falar do "Teorema do k" ?
Não, pesquisei aqui e não achei nada, do que se trata?

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Resolvido Re: Espcex 2018, Geometria plana triangulo

Mensagem por Mateus Meireles Seg 31 Dez 2018, 13:55

Na verdade, não precisa, agora que fui ver que é baricentro

Espcex 2018, Geometria plana triangulo Pir2f11

O baricentro (ponto de encontro das medianas) divide o triângulo ABC em 6 triângulos menores de mesma área.

Por Heron, temos que a área de um deles vale

\begin{align*}

A = \sqrt{(p(p-a)(p-b)(p-c)}\, =\, & \sqrt{(7)(7-2)(7-6)(7-6)} \\
                                            =\, & \sqrt{35}

\end{align*}


Como o triângulo ABC é formado por 6 triângulos menores, temos que a área pedida vale 6\sqrt{35}


Última edição por Mateus Meireles em Ter 01 Jan 2019, 10:52, editado 2 vez(es) (Motivo da edição : Diagramação)

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Resolvido Re: Espcex 2018, Geometria plana triangulo

Mensagem por paulinoStarkiller Seg 31 Dez 2018, 14:06

Desculpa por me intrometer, mas, Mateus, poderia enunciar qual seria esse "teorema do k"? 

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Resolvido Re: Espcex 2018, Geometria plana triangulo

Mensagem por Aprendiz de cadete Seg 31 Dez 2018, 14:31

Sim, muito obrigado Matheus, mas pode nos explicar o tal "teorema do k"?

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Resolvido Re: Espcex 2018, Geometria plana triangulo

Mensagem por Mateus Meireles Ter 01 Jan 2019, 10:57

Não é bem um teorema, por isso que eu coloquei entre aspas, é mais uma relação entre segmentos de pontos interiores a triângulos relacionado com áreas



Vejam o vídeo a partir de 1:04:00 (inclusive ele mostra o fato que eu usei nesse problema, que o baricentro divide o triângulo ABC em 6 triângulos menores de mesma área)

O que vocês querem ver fica em 1:11:10. No final do vídeo ele sugere um problema bem parecido com esse, mas é fornecido o valor das medianas, e não do lado como ocorre aqui

Abraço e feliz ano novo a todos!!

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Resolvido Re: Espcex 2018, Geometria plana triangulo

Mensagem por GBRezende Seg 06 maio 2019, 19:15

Bati a cabeça mais do que devia nessa questão, mas vou mandar aqui a resolução que cheguei que é um pouco mais simples que a do colega, só pra ninguém pensar que seria obrigatório conhecer este teorema para resolver a questão.

Veja que a mediana divide o triângulo em 2 triângulos isósceles. Nomeando os ângulos e trabalhando, é fácil concluir que o triângulo dado é retângulo.
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Agora podemos desenhar a mediana de comprimento 9, e aplicando 2 teoremas de pitágoras, chegará em um sistema para x e y, e bastará resolve-lo para achar os lados desejados.
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Resolvido Re: Espcex 2018, Geometria plana triangulo

Mensagem por alnjunior Sex 31 maio 2019, 00:18

Olá mateus...você poderia explicar o motivo do semi perímetro ser 7? qual relaçao usou?

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Resolvido Re: Espcex 2018, Geometria plana triangulo

Mensagem por Medeiros Sex 31 maio 2019, 03:06

Olá Junior

ele usou o subtriângulo assinalado em vermelho.
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