Triângulo com arco duplo (UEFS 2012.2)
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Triângulo com arco duplo (UEFS 2012.2)
por Raquel Valadão Sex 14 Dez 2018, 20:06
Em um triângulo retângulo, sejam S a soma das medidas dos comprimentos dos catetos; T, a diferença entre eles e H, a medida do comprimento da hipotenusa. Se x for é a medida do menor ângulo interno desse triângulo, então cos2x é igual a
A) S + T
B) (S+T)/H
C) S .T
D) S.T/H2
E)2 . (S2-T2)/H2
[size=34]Comecei por desenvolver os produtos notáveis através de Pitágoras, mas não consegui terminar. Gab: D[/size]
A) S + T
B) (S+T)/H
C) S .T
D) S.T/H2
E)2 . (S2-T2)/H2
[size=34]Comecei por desenvolver os produtos notáveis através de Pitágoras, mas não consegui terminar. Gab: D[/size]
Última edição por raquelvaladao em Sex 14 Dez 2018, 22:43, editado 1 vez(es)
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Re: Triângulo com arco duplo (UEFS 2012.2)
por Giovana Martins Sex 14 Dez 2018, 21:09
Sejam "a" e "b" as medidas de cada cateto.
\\\left\{\begin{matrix}
a+b=S\\
a-b=T
\end{matrix}\right.\to a=\frac{S+T}{2}\ e\ b=\frac{S-T}{2}\\\\\therefore \ b:\ \text{menor\ lado}\\\\cos(x)=\frac{a}{H}=\frac{S+T}{2H}\ e\ sen(x)=\frac{S-T}{2H}\\\\cos(2x)=cos^2(x)-sen^2(x)\to cos(2x)=\frac{(S+T)^2-(S-T)^2}{4H^2}\to \\\\cos(2x)=\frac{S^2+2ST+T^2-S^2+2ST-T^2}{4H^2}\to \boxed {cos(2x)=\frac{ST}{H^2}}
Nota: o menor ângulo opõe-se ao menor lado.
a+b=S\\
a-b=T
\end{matrix}\right.\to a=\frac{S+T}{2}\ e\ b=\frac{S-T}{2}\\\\\therefore \ b:\ \text{menor\ lado}\\\\cos(x)=\frac{a}{H}=\frac{S+T}{2H}\ e\ sen(x)=\frac{S-T}{2H}\\\\cos(2x)=cos^2(x)-sen^2(x)\to cos(2x)=\frac{(S+T)^2-(S-T)^2}{4H^2}\to \\\\cos(2x)=\frac{S^2+2ST+T^2-S^2+2ST-T^2}{4H^2}\to \boxed {cos(2x)=\frac{ST}{H^2}}
Nota: o menor ângulo opõe-se ao menor lado.
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