Produtos Notáveis e Fatoração

por henriquecdb Seg 10 Dez 2018, 17:19

O valor 2093^{n}-803^{n}-464^{n}+261^{n} é divisível por 1897?

OBS: Não tem alternativa, é apenas "sim" ou "não" na questão

por **fantecele** Seg 10 Dez 2018, 17:52

Tem certeza que ali é 2093?

por henriquecdb Seg 10 Dez 2018, 17:58

por **fantecele** Seg 10 Dez 2018, 18:24

$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+x^2y^{n-2}+y^{n-1})$

Tipo, eu tenho um exercício parecido com esse em um livro aqui, a única diferença é que no local do 2093 é 2903.

Para no caso do 2903 fica tipo:
Perceba que 1897 = 7.271

2903^n - 803^n = 2100.(...)
Isso aqui de cima é divisível por 7.

261^n - 464^n = -203.(...)
Isso aqui de cima é divisível por 7.

Se 2903^n - 803^n e 261^n - 464^n são divisíveis por 7, então 2903^n - 803^n - 464^n + 261^n também é divisível por 7.

2903^n - 464^n = 2439.(...)
Isso aqui de cima é divisível por 271.

261^n - 803^n = -542.(...)
Isso aqui de cima é divisível por 271.

Se 2903^n - 464^n e 261^n - 803^n são divisíveis por 271, então 2903^n - 803^n - 464^n + 261^n é divisível por 271.

Se 2903^n - 803^n - 464^n + 261^n é divisível por 7 e por 271, então será divisível por 1897.

Para o caso do 2093, veja que por congruência:
2093^n - 803^n - 464^n + 261^n ≡ -(5)^n - (2)^n + 2^n ≡ -(5)^n (mod 7)

Dali de cima tiramos que 2093^n - 803^n - 464^n + 261^n não é divisível por 7 e, portanto, também não será por 1897.