Transformações Lineares-Imagem da transformação linear

por Marco_Saurfang Sáb 17 Nov 2018, 20:50

Boa noite, estou com dificuldades em encontrar a imagem da seguinte transformação linear:

T: R³→R², T(x,y,z) = (x + 2y-z,2x-y+z)

(A dimensão do subespaço Imagem deve ser 2, entretanto, acabo encontrando um subespaço de dimensão 3, muito provavelmente estou cometendo algum erro quando da resolução do sistema linear, mas não consegui observá-lo)

desde já grato pela sua atenção

por **fantecele** Dom 18 Nov 2018, 00:40

Então, acho que você deve estar encontrando algo como:
Im = < (1,2), (2,-1), (-1,1) > (I)
Se eu não estou enganado, não tem problema deixar desse jeito ali do (I), por que, de certa forma, a imagem seria uma combinação linear dos vetores (1,2), (2,-1), (-1,1), porém, não faria muito sentido falar que a dimensão disso ali é 3, já que a dimensão de um subespaço não trivial G é o número de vetores em qualquer base para G, e os vetores de (I) não podem ser considerados uma base para imagem já que o vetor (-1,1) pode ser escrito como uma combinação linear entre os vetores (1,2) e (2,-1), sendo assim, esses vetores são linearmente dependentes. Daqui você pode tirar uma base para imagem que seria formada pelos vetores (1,2) e (2,-1), por exemplo, sendo essa com dimensão 2 e, portanto, a imagem seria os vetores que são combinações lineares de (1,2) e (2,-1).
Se não me engano seria isso, qualquer coisa é só falar.