Triângulo

Em um triângulo ABC, o incentro e ortocentro distam 2uc e o ângulo ABC=60°.Calcule a distância do incentro ao circuncentro.
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
r=b

Como não definido o tipo de triângulo podemos supor que é retângulo

 = 90º ---> ^B = 60º ---> ^C = 30º

Desenhe o triângulo num sistema xOy com A(0, 0), BC = a, B no eixo y e C no eixo x

AB = BC.cos60º ---> yB = a.(1/2) ----> B(0, a/2
AC = BC.cos30º ---> xC = a.(√3/2) ---> C(a.√3/2, 0)

O ortocentro é A (0, 0)
Seja M o ponto médio de BC (M é o circuncentro)
Desenhe o círculo inscrito de raio r. I é o incentro: I(r, r)

AI² = r² + r² ---> AI = r.√2 ---> 2 = r.√2 ---> r = √2 ---> I

Da geometria: r = (AB + AC - BC)/2 ---> r = (a/2 + a.√3/2 - a)/2 ---> r = a.(√3 - 1)/4 ---> II

I em II calcule a

Circuncentro ---> xM = xC/2 ---> xM = a.√3/4 ---> yM = a/4

Calcule agora IM

Grande ideia Élcio: supor um triângulo retângulo e ancorar ele na geometria analítica. Eu estava "encafifado" com um triângulo "no ar".

Sem querer ser chato.
Mas se podemos supor um tipo de triângulo , vamos supor o triângulo equilatero , se eu não me engano todos esses pontos notáveis se encontram, o quê tornaria um absurdo com o enunciado .

Com certeza! Por isto eu nem fiz o teste com o triângulo equilátero, pois ele não atende.

O triângulo equilátero foi descartado pelo enunciado ao informar o dado \overline{OI}=2 .

Eu quis dizer que se podemos pegar um caso qualquer de um triangulo , poderiamos pegar o equilátero 
O que seria um absurdo com o enunciado.
A dúvida então é , o que garante que no caso do retângulo isso Valéria ?

Nada garante.
Parece-me que o enunciado está incompleto: está faltando alguma informação. Poderia ser, por exemplo: "Em um triângulo retângulo ABC, o incentro ..." ou outra informação qualquer.

Na falta desta informação, eu resolvi arriscar e supor que o triângulo era retângulo. Se não for isto, parece que a questão não tem solução.

A sim 
O senhor chegou a resolver até o fim pra ver se bate o gabarito ?

Eu fiz isso (as contas até o fim) e o gabarito confere.

Além do que, tudo que o enunciado exige é a distância OI=2 e o ângulo ^B=60°; atendido isto o enunciado, tal como está, não tem do que reclamar.

Também acho mais elegante imaginar um triângulo escaleno acutângulo -- tentei fazer isto e proibi-me de usar geom. analítica sem sucesso -- mas, embora deva haver uma solução, a adotada pelo Élcio deixa tudo muito mais simples.

E antes de obedecer ao enunciado eu supus que ele poderia incorrer em erro, em vez de incentro poderia querer dizer o centro do círculo de Euler; aí a resposta seria imediata IM = OI = 2.