Determine r

por viniciusasantanna Dom 07 Out 2018, 11:15

seja r uma reta que passa por (-1, 1) e é tangente ao gráfico de f(x)= x³-x. determine r.

por diogompaiva Dom 07 Out 2018, 16:54

A reta r(x) passa pelo ponto (-1,1)

r(x) = ax + b \rightarrow -a + b = 1\rightarrow a=b-1\,\,\,\text{ (I)}

Como r(x) é tangente a f(x), no ponto onde ocorre a tangência as duas funções são iguais. Vamos chamar esse ponto de z:

r(z)=f(z)\rightarrow az+b=z^3-z.

Substitua o coeficiente a pela equacao (I) na expressão acima. Obtemos para b:

b=\frac{z^3}{z+1}\text{ (II)}

A inclinação das retas tangentes ao gráfico de f(x) são dadas por f´(x) = 3x^2 - 1. Para a reta específica r, cuja inclinação é o coeficiente a, será dado por:

a=f{}'(z)\rightarrow a=3z^2-1\;\;\;(III)\\\\

Agora usamos as equações (II) e (III) na equação (I):

a=b-1\rightarrow 3z^2-1=\frac{z^3}{z+1} -1\rightarrow z=-\frac{3}{2}

Substituindo z na equação (III), obtemos a. Substituindo a na equação (I) obtemos b.

A reta procurada é

r(x)=5,75x + 6,75

Determine r

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