(Africa do Sul 2014) Ângulos em triângulo

Em um triângulo ABC, com ângulo obtuso Â, sejam D, E, F, os pés das alturas de A, B e C, respectivamente. DE é paralela a CF e DF é paralela à bissetriz de BÂC. Determine os ângulos do triângulo ABC.

Gabarito: 108, 18 e 54 graus.

Nota: problema 116 (Cap. 1) do livro Elementos de Matemática - Geometria Plana - Marcelo Rufino e Márcio Pinheiro.

Uma figura para ajudar:


Sejam A, B, C os ângulos dos respectivos vértices: BÂC = A, A^BC = B, A^CB = B

BÂE = 180º - BÂC ---> BÂE = 180º - A
No triângulo retângulo AEB ---> A^BE = 90º - BÂE ---> A^BE = 90º - (180º - A) ---> A^BE = A - 90º
No triângulo retângulo AFC ---> CÂF = BÂE (opv) ---> CÂF = 180º - A ---> A^CF = A - 90º
Note que os triângulos AEB e  AFC são semellantes

AG é bissetriz ---> BÂG = CÂG = A/2

No triângulo retângulo ADB ---> BÂD = 90º - A^BC ---> BÂD = 90º - B
No triângulo retângulo ADC ---> CÂD = 90º - A^CB ---> CÂD = 90º - C

GÂD = BÂD - BÂG ---> GÂD = (90º - B) - A/2 ---> GÂD = 90º - B - A/2
GÂD = CÂG - CÂD ---> GÂD = A/2 - (90º - C) ---> GÂD = A/2 + C - 90º

Tente agora completar, levando em conta os paralelismos DE // CF e DF // AG

Fiz um desenho mais na próximo da situação atual, algo que facilita melhor a visualização das condições do problema. Mas mesmo com isso e as dicas do mestre não consegui chegar ao resultado pedido.

Uma possível solução, reconhecendo que o triângulo EDF é órtico (onde as alturas de ABC são bissetrizes dos ângulos internos) vai a seguir: