(Ufes)

As duas pirâmides ilustradas abaixo (figura
1) têm base quadrada e faces laterais formadas por
triângulos eqüiláteros de lado 10 raiz de 3. As bases das
pirâmides estão no mesmo plano, têm pares de lados
opostos paralelos e distâncias indicadas na figura.
Qual a menor distância a ser percorrida para se ir do
vértice A de uma das pirâmides ao vértice B da outra,
caminhando ou sobre a superfície das pirâmides ou
pelo plano?
Sugestão: Planifique as faces a serem percorridas
para se obter a menor distância como a seguir (figura
2).

gabarito 39 u.c

Marque os pontos A e B na figura 2: vértices dos triângulos equiláteros dentro de cada quadrado.

Seja PQ o lado vertical direito do quadrado esquerdo (P em baixo e Q em cima) e M o ponto médio de PQ

Idem P'Q' para o lado esquerdo do quadrado direito (P' em baixo e Q' em cima) e M' o ponto médio de P'Q'

Seja T o vértice do triângulo retângulo ATB da figura ---> A^TB = 90º
Seja S o ponto de encontro do cateto TB com o lado inferior do quadrado direito. Trace AMT

PM = QM =  BS = 5.√3

AM² = AP² - PM² ---> AM² = (10.√3)² - (5.√3)² ---> AM = 15 ---> BM' = PS = 15

AT = AM + 6 + P'S ---> AT = 15 + 6 + 15 ---> AT = 36 ---> I

A distância vertical entre Q e P' vale V = 10.√3 - 15

ST = MQ - V ---> ST = 5.√3 - ( 10.√3 - 15) ---> ST = 15 - 5.√3

TB = TS + BS ---> TB = (15 - 5.√3) + 5.√3 ---> TB = 15 ---> II

Distância procurada = AB ---> AB² = AT² + BT² ---> AB² = 36² + 15² ---> AB = 39