Convergência da série

por **Pietro di Bernadone** Sáb 25 Jun 2011, 17:47

Decida sobre a convergência da série:

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{log\,n}{n^{2}}$ .

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

por Man Utd Sáb 05 Jul 2014, 13:47

Olá

perceba que :

$\\\\\\ \sum_{n=1}^{\infty} \; \frac{\log n}{n^2}=\frac{\log(1)}{1^2}+ \sum_{n=2}^{\infty} \; \frac{\log n}{n^2} \\\\\\ \sum_{n=1}^{\infty} \; \frac{\log n}{n^2}=\sum_{n=2}^{\infty} \; \frac{\log n}{n^2}$

logo vamos usar o teste da integral na série que se inicia em n=2, para isso tens que provar que $\\\\\\ f(x)=\frac{\log x}{x^2}$ é sempre positiva para [2,+inf) e descrescente tbm no intervalo [2,+inf) deixo como exercício.

Logo aplicando o teste da integral:

$\\\\\\ \int_{2}^{+\infty} \; \frac{log x}{x^2} \; dx \; \approx \; 0.367662$

Então como é um valor real, a série converge.

Convergência da série

Convergência da série

Re: Convergência da série

Um fórum livre e democrático.