Provar a sentença

por brasileiro312 11/7/2018, 4:14 pm

Seja n um número inteiro positivo qualquer. Prove que a fração

é irredutível.

por justanightmare 11/7/2018, 4:29 pm

\frac{15n+8}{12n+7}=k\\\\15n+8=12kn+7k\\15n-12kn=7k-8\\n(15-12k)=7k-8\\\\n= \frac{7k-8}{15-12k}\\\\7k-8>0\\\\k>\frac{8}{7}\\\\15-12k>0\\12k<15\\\\k<\frac{5}{4}

Não existe k pertencente aos naturais que represente a fração, logo, é irredutível

por mts_007 11/7/2018, 5:10 pm

Pesquise sobre o algoritmo de Euclides e conclua que (15n +8, 12n + 7) = 1

Night, acredito que não possamos realizar tal procedimento, pois não há garantia que a fração seja inteira.

Veja que 8/16 é redutível, mas não pertence aos inteiros.

por justanightmare 11/7/2018, 6:00 pm

Você tem razão mts, esses dias eu estava fazendo uma questão semelhante em que n teria que ser natural, entre outras coisas, e o método que eu tinha utilizado era esse.

Valeu por avisar.

por **fantecele** 11/7/2018, 10:24 pm

Vamos chamar o mdc entre eles de d, temos que:
d|15n+8 (I)
d|12n+7
d|(12n+7).5 -4.(15n+ Cool

d|3
d = 1 ou d = 3
d não pode ser 3 pois de (I), por exemplo, deveríamos ter que d|8 o que implicaria que 3|8, o que não é verdade, então devemos ter d = 1 e portanto a fração é irredutível.

por Ana29Carolina 15/7/2018, 10:24 am

mts_007 escreveu:Pesquise sobre o algoritmo de Euclides e conclua que (15n +8, 12n + 7) = 1

Night, acredito que não possamos realizar tal procedimento, pois não há garantia que a fração seja inteira.

Veja que 8/16 é redutível, mas não pertence aos inteiros.

Poderia me explicar melhor como faço pelo algoritmo de Euclides, por favor?

por mts_007 15/7/2018, 12:03 pm

Ana29Carolina escreveu:

Poderia me explicar melhor como faço pelo algoritmo de Euclides, por favor?

Não tem muito segredo,

mdc(15n +8, 12n + 7) = mdc( 15n +8 - (12n + 7), 12n + 7 ) = mdc( 3n +1, 12n + 7 )
mdc( 3n +1, 12n + 7 ) = mdc( 3n +1, 12n + 7 - 4*(3n + 1) ) = mdc( 3n +1, 3 )

mdc( 3n +1, 3 ) = mdc( 3n +1 - 3*n, 3 ) = mdc( 1, 3 )

mdc( 1,3 ) = 1