ITA - Trigonometria

por Márcia_Queiroz_ Dom 23 Fev 2014, 11:07

Calcule:

a) [cos²(π/5) + sen² (π/5)] cos (π/10) - 2sen(π/5)cos(π/5)sen(π/10)]

b) Usando o resultado do item anterior, calcule sen(π/10)cos(π/5)

por PedroCunha Dom 23 Fev 2014, 17:58

Olá.

O enunciado correto e a solução são:

$\text{a) Calcule } \left( \cos^2 \frac{\pi}{5} - \sin^2 \frac{\pi}{5} \right) \cdot \cos \frac{\pi}{10} - 2 \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{\pi}{10}\\\\\circ \cos^2 \frac{\pi}{5} - \sin^2 \frac{\pi}{5} = \cos^2 \frac{\pi}{5} + \cos^2 \frac{\pi}{5} - 1 \therefore 2\cos^2 \frac{\pi}{5} - 1 \therefore \cos \frac{2\pi}{5} \\\\ \circ 2 \cdot \sin \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{5} = \sin \frac{2\pi}{5} \\\\ \star \left( \cos^2 \frac{\pi}{5} - \sin^2 \frac{\pi}{5} \right) \cdot \cos \frac{\pi}{10} - 2 \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{\pi}{10} = \cos \frac{2\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10} - \sin \frac{2\pi}{5} \cdot \sin \frac{\pi}{10} \therefore \\\\ \cos \left(\frac{2\pi}{5} + \frac{\pi}{10} \right) \Leftrightarrow \cos \frac{\pi}{2} = 0 \\\\ \text{b) Utilizando o resultado do item anterior, calcule } \sin \frac{\pi}{10} \cdot \cos \frac{\pi}{5} \\\\ \text{ Do item anterior: } (\cos ^2 \frac{\pi}{5} - \sin^2 \frac{\pi}{5}) \cdot \cos \frac{\pi}{5} \sin \frac{\pi}{10} = 2 \cdot \sin \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{5} \cdot \frac{\pi}{10} \therefore \\\\ \frac{\cos \frac{2\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10}}{2 \sin \frac{\pi}{5}} = \cos \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{\pi}{10} \\\\ \text{ Como } \frac{\pi}{10} \text{ e } \frac{2\pi}{5} \text{ sao complementares: } \cos \frac{2\pi}{5} = \sin \frac{\pi}{10} \therefore \\\\ \frac{\sin \frac{\pi}{10} \cdot \cos \frac{\pi}{10}}{2\sin \frac{\pi}{5}} = \cos \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{\pi}{10} \therefore \frac{\frac{\cancel{\sin \frac{\pi}{5}}}{2}}{2 \cancel{\sin \frac{\pi}{5}}} = \cos \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{\pi}{10} \\\\ \Leftrightarrow \sin \frac{\pi}{10} \cdot \cos \frac{\pi}{5} = \frac{1}{4}$

Att.,
Pedro

por Márcia_Queiroz_ Dom 23 Fev 2014, 22:08

Pode me explicar isso?

por PedroCunha Dom 23 Fev 2014, 22:46

Claro.

Lembra-se que sen(2x) = 2*senx*cosx? Dividindo essa expressão por 2, temos:

sen(2x)/2 = senx*cosx

Logo, sen (pi/10) * cos (pi/10) = (sen 2pi/10)/2 .:. (sen pi/5)/2

Entendeu?

Att.,
Pedro

por Márcia_Queiroz_ Seg 24 Fev 2014, 09:42

Entendi sim; vlw Very Happy

por Camel Dom 05 Mar 2017, 17:59

Alguém poderia me dizer como faço para visualizar a equação, estou pelo celular e só vejo códigos

por Guimarães Braga Qui 21 Jun 2018, 19:53

Perdão, essa questão já estava no fórum, mas a resposta estava codificada para muitas pessoas incluindo a este que vos escreve.

Calcule:

a) [cos²(π/5) - sen² (π/5)] cos (π/10) - 2sen(π/5)cos(π/5)sen(π/10)]

b) Usando o resultado do item anterior, calcule sen(π/10)cos(π/5)