Divisores

De todos os divisores do numero 1500, quantos são divisíveis por 5?

5, 10, 15, ....., 1495, 1500

PA com a1 = 5, r = 5

1500 = 5 + (n - 1).5 ---> n = 300

será que dá pra fazer sem PA? Usando mmd e mdc, nao sei..

1500 = 2^2.3.5^3

n = 2^2.3.5^(3-1) = 300

n entendi essa questão todos os divisores de 1500 não  é  3+1*2+1*1+1=24  e os mult de 5 q são divisores de 1500 não é 3-1= 2. 2+1*2+1*1+1=18

professor me corrija por favor

jessesantos2001 escreveu:n entendi essa questão todos os divisores de 1500 não  é  3+1*2+1*1+1=24  e os mult de 5 q são divisores de 1500 não é 3-1= 2. 2+1*2+1*1+1=18

Correto.

Há 300 números que dividem por 5 até 1500.
Porém 1500 tem 24 divisores, sendo 18 deles divisíveis por 5.

Pegando gancho na resposta do Élcio:

1500 = 2².3.5³
Multiplicando os expoentes somados de 1: (2+1)*(1+1)*(3+1) = 24

Para que esses números sejam divisíveis por 5 também:
(2+1)*(1+1)*(2+1) = 18

Acho relevante explicar mais detalhadamente essa solução.

Multiplicamos os expoentes por causa do seguinte raciocínio, que já está aplicado a um exemplo:

Se o número 360 pode ser expresso por 2^3 . 3^2 . 5^1, então esse número pode ser dividido por:

2, 4 e 8 -> gera 3 divisores
3 e 9 -> gera 2 divisores
5 -> gera 1 divisor

Portanto, para o fator:

2 -> 3 divisores { 2, 4, 8 } a=3
3 -> 2 divisores { 3, 9 } b = 2
5 -> 1 divisor { 5 } c = 1

Podemos combinar esses 6 divisores de 6 maneiras diferentes aos trios (a*b*c), de 11 maneiras diferentes aos pares (a*b+a*c+b*c), de 6 maneiras isoladamente (sem combinar) (a+b+c) e ainda temos que incluir o 1, que sempre é um divisor. Note que no caso dos trios e pares não podemos pegar dois divisores de um mesmo fator. Isso porque, por exemplo, estaríamos dizendo que depois de dividir o 360 por 8, ainda poderíamos dividir o resultado por 2 e obter um divisor, o que não é verdade. Ou então dividir por 2 e por 4 e obter um divisor diferente do que já temos ao dividir por 8.

Total = a*b*c + a*b + a*c + b*c + a + b + c + 1
Total = (a+1)(b+1)(c+1)
Total = (4*3*2) = 24 divisores.

Note que todos os divisores são: { 1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360 }

PedroX escreveu:

jessesantos2001 escreveu:n entendi essa questão todos os divisores de 1500 não  é  3+1*2+1*1+1=24  e os mult de 5 q são divisores de 1500 não é 3-1= 2. 2+1*2+1*1+1=18

Correto.

Há 300 números que dividem por 5 até 1500.
Porém 1500 tem 24 divisores, sendo 18 deles divisíveis por 5.

Pegando gancho na resposta do Élcio:

1500 = 2².3.5³
Multiplicando os expoentes somados de 1: (2+1)*(1+1)*(3+1) = 24

Para que esses números sejam divisíveis por 5 também:
(2+1)*(1+1)*(2+1) = 18

Só não entendi como pensou nesse final "Para que esses números sejam divisíveis por 5 também:
(2+1)*(1+1)*(2+1) = 18"  Pode explicar, por favor?

Adicionei uma explicação na minha resposta anterior sobre o procedimento de contar o número de divisores. Sugiro que a veja, mas agora pensando nos divisores de 360 que são divisíveis por 3.

PedroX escreveu:Se o número 360 pode ser expresso por 2^3 . 3^2 . 5^1, então esse número pode ser dividido por:

2, 4 e 8 -> gera 3 divisores
3 e 9 -> gera 2 divisores
5 -> gera 1 divisor

Não queremos o divisor de 360 que vem da divisão por 9 (isto é, 40), porque daí não teríamos como dividir por 3 depois. Se quisessemos os múltiplos divisíveis por 15, teríamos que descartar o divisor de 360 que vem da divisão por 3 e por 5, restando a=3, b=1, c=0 -> total = 8.

Daí segue que:

PedroX escreveu:Portanto, para o fator:

2 -> 3 divisores { 2, 4, 8 } a=3
3 -> 1 divisor { 3 } b = 1
5 -> 1 divisor { 5 } c = 1

E por fim (3+1)(1+1)(1+1) = 16.

É por isso que basta descontar 1 do expoente de interesse.

No caso da sua questão, descontamos 1 do expoente que tem base 5.