Função Polinomial do 2º Grau

por TrailRunner Seg 28 maio 2018, 11:53

Considere a função f(x)=ax² + bx + c.
Sabendo que f(1)=4, f(2)=0 e f(3)=-2, diga quanto vale o produto abc.

Desde já agradeço.

por **Forken** Seg 28 maio 2018, 12:47

Sabendo-se que,
f(1)=4
f(2)=0
f(3)=-2

Temos que,

\boxed{I}\Rightarrow f(1)=a+b+c=4

\boxed{II}\Rightarrow f(2)=4a+2b+c=0

\boxed{III}\Rightarrow f(3)=9a+3b+c=-2

Por meio do sistema linear percebemos que,

\left\{\begin{matrix}a+b+c=4\\
4a+2b+c=0\\
9a+3b+c=-2\end{matrix}\right.

Resolvendo o sistema linear,

De II e III

\left\{\begin{matrix}9a+3b+c=-2\\
-4a-2b-c=0
\end{matrix}\right.\Rightarrow \boxed{IV}\Rightarrow \boxed{5a+b=-2}

De I e II

\left\{\begin{matrix}4a+2b+c=0\\
-a-b-c=-4
\end{matrix}\right.\Rightarrow \boxed{V}\Rightarrow \boxed{3a+b=-4}

De IV e V

\left\{\begin{matrix}5a+b=-2\\
-3a-b=4
\end{matrix}\right.\Rightarrow \boxed{VI}\Rightarrow \boxed{a=1}

De V e VI

\left\{\begin{matrix}3a+b=-4\\a=1\end{matrix}\right.\Rightarrow \boxed{VII}\Rightarrow \boxed{b=-7}

De I e VI e VII

\left\{\begin{matrix}a+b+c=4\\a=1\\b=-7\end{matrix}\right.\Rightarrow \boxed{VIII}\Rightarrow \boxed{c=10}

De VI e VII e VIII
\boxed{c=10}\;\boxed{b=-7}\;\boxed{a=1}

O produto abc vale,
\boxed{-7\cdot 10\cdot 1=-70}

Bons estudos!

por TrailRunner Seg 28 maio 2018, 18:20

Olá, estou aqui novamente pois fiquei com uma duvida.

Eu copiei a sua resposta e fui tentar entender como você chegou ao resultado, porem eu não entendi o porque de de em (II e III) e (I e II) a segunda equação ser negativa ou como se tivesse multiplicado por (x-1).

Eu tentei resolver da seguinte maneira, utilizando o seguinte metodo de acordo com o livro:

Multiplicamos a 1º equação pelo coeficiente do X da 2º equação e a 2º equação pelo SIMÉTRICO do coeficiente do X da 1º equação.

Sendo assim, fiz da seguinte maneira:

$Função Polinomial do 2º Grau Png$

$Função Polinomial do 2º Grau Png$

$Função Polinomial do 2º Grau Png$

---

II e I

$Função Polinomial do 2º Grau Gif$

----

III e II

$\\\left\{\begin{matrix}9a+3b+c=-2 \cdot 4\\\\4a+2b+c=0 \cdot (-9)\\\end{matrix}\right\rightarrow -6b-5c=-8$

----

e cheguei no seguinte resultado, de como que C seria igual a 80/14, diferente do seu resultado.

$\\\left\{\begin{matrix}-2b - 4c = -16 \cdot (-6)\\\\-6b-5c=-8 \cdot 2\\\end{matrix}\right\rightarrow 14c = 80$

Desde já agradeço.

por **Forken** Seg 28 maio 2018, 20:45

Paulo Martins escreveu:Eu copiei a sua resposta e fui tentar entender como você chegou ao resultado, porem eu não entendi o porque de de em (II e III) e (I e II) a segunda equação ser negativa ou como se tivesse multiplicado por (x-1).

Sim eu multipliquei por -1, para que uma das suas incógnitas se tornasse o inverso aditivo do outro, necessário para a utilização do método de adição para a resolução de sistema linear pois consegue-se eliminar uma das incógnitas na soma dos termos semelhantes.

Utilizando o método do seu livro seria o seguinte:

De I e II

\left\{\begin{matrix}4a + 2b + c = 0\;(1)\\
a + b + c = 4\;(-4)
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}4a+2b+c=0\\
-4a-4b-4c=-16
\end{matrix}\right.\Rightarrow -2b-3c=-16

-----------------------------------------------------------------------------
De II e III

\left\{\begin{matrix}9a+3b+c=-2\;(4)\\
4a+2b+c=0\;(-9)
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}36a+12b+4c=-8\\
-36a-18b-9c=0
\end{matrix}\right.\Rightarrow -6b-5c=-8

-----------------------------------------------------------------------------
Do resultado de (I e II) e (II e III)

\left\{\begin{matrix}-2b-3c=-16\;(-6)\\
-6b-5c=-8\;(2)
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}12b+18c=96\\
-12b-10c=-16
\end{matrix}\right.\Rightarrow 8c=80\Rightarrow c=10

Obs: SEMPRE, independente do número escolhido por você, se você for multiplicar um dos termos por este número escolhido, todos os outros termos desta equação tem que ser multiplicado também pelo mesmo número escolhido, antes da igualdade e até depois deste.