determinar valores de n

Sabendo que n é inteiro positivo maior que 1, resolver a duas inequação n+2 < [n(n+1)]/n-1 < n+3 e determinar para que valores de n a expressão [n(n+1)]/n-1 é um inteiro positivo.

Spoiler:

a primeira parte do exercício consegui resolver, só na segunda parte que não consigo.

n+2<[n(n+1)]/n-1
n+2 -[n(n+1)]/n-1<0
n²+n-2-n²-n<0
-2<0

[n(n+1)]/n-1 < n+3
n²+n-n²-3n+n+3<0
-n<-3
n>3 << resposta da primeira parte do exercício.

eu digitei o enunciado certo mas não apareceu uma parte, mas já corrigi...

Talvez tenha alguma maneira mais simples de se resolver, mas eu consegui visualizar melhor criando duas frações:



O enunciado informou que n é inteiro positivo maior do que 1. Para que tal expressão resulte num número inteiro, devemos eliminar as frações. Repare que isso só acontece com os menores valores possíveis de n:

Para n = 2



Para n = 3



São as duas únicas formas que fazem a expressão ser inteira e positiva. Repare que se você testar outros valores, o resultado tenderá a 1.

Para n = 4, temos um valor fracionário:

albert, obrigado

cheguei pensar assim, eu queria mesmo é uma forma sem testar os valores.

i) Analisando individualmente cada desigualdade temos:
n+2 < n(n+1)/(n-1)
n(n+1)/(n-1) - (n+2)(n-1)/(n-1) > 0
2/(n-1) > 0 <=> n-1 > 0 ∴ n > 1
ii) Para a segunda igualdade obteremos:
n(n+1)/(n-1) < n+3 => n(n+1)/(n-1) - (n+3)(n-1)/(n-1) < 0 
(3-n)/(n-1) < 0 , com o estudo do sinal obteremos que: 
n < 1 ou n > 3
iii) Com os resultados obtidos concluímos que n > 3, uma vez que estes valores satisfazem as condições estabelecidas. Portanto:
S = { n ∈ ℤ | n > 3 }
iv) Segunda parte: 
n(n+1)/(n-1) > 0 
Fazendo uso do estudo do sinal, fazendo n = 0; n+1 = 0; n-1 = 0; obteremos que:
-1 < n < 0  ou  n > 1; porém, segundo o enunciado, n é um inteiro positivo maior que 1, logo teremos o conjunto solução: 
S = { n ∈ ℤ | n > 1 }