Simplifique a expressão

Basta dividir um polinômio pelo outro, pelo método da chave, e achar o quociente:

a⁴ + 0.a³ + a² + 0.a + 1 |a² + a + 1

Elcioschin escreveu:Basta dividir um polinômio pelo outro, pelo método da chave, e achar o quociente:

a⁴ + 0.a³ + a² + 0.a + 1 |a² + a + 1

Perdoe-me pela ignorância, mas esse livro, que estou seguindo, ainda não me apresentou este método, sendo, portanto, desconhecido para mim. Nele as questões costumam ser apresentadas de maneira que possam ser resolvidas com os conteúdos já aprendidos, que foram na sequência - Potenciação, Radiciação, Produtos notáveis e Fatoração. Não quero parecer presunçoso em relação a resposta apresentada pelo mestre,pesquisei a respeito do método da chave, mas existe alguma maneiro de resolver a questão com métodos de 1° Fatoração ou 2° Produtos notáveis? Os apresentados no livro até então foram: 1° Fator comum, Agrupamento, Diferença de Quadrados, Trinômio Quadrado Perfeito, Trinômio da forma ax^2+bx+c e Soma e diferença de cubos; 2° Quadrado da soma de dois termos, Quadrado da diferença de dois termos, Produto da soma pela diferença de dois termos, Cubo da soma de dois termos, Cubo da diferença de dois termos. 
Peço desculpas pelo extenso texto e pelo meu desconhecimento em relação a algo que possa parecer tão obivio para alguns.

Obs: Pelo método indicado (da chave) a resposta obtida está corretíssima.

a⁴ + a² + 1 = (a² + a + 1).(a² + x.a + 1)

a⁴ + a² + 1 = a⁴ + (x + 1).a³ + (x + 2).a² + (x + 1).a + 1

Comparando termo a termo:

(x + 1).a³ = 0 ----> x = - 1
(x + 2).a² = a² ---> x = - 1
(x + 1).a = a -----> x = - 1

O outro fator é a² - a + 1

Tem como somar e subtrair a² no numerador, veja:

a⁴ + a² + 1
a⁴ + a² + 1 + a² - a²
a⁴ + 2a² + 1 - a²
(a² + 1)² - a²

Lembrando que x² - y² = (x - y)(x + y)

(a² + 1 - a)(a² + 1 + a)

Dividindo pelo a² + a + 1 do denominador iremos ficar apenas com:

a² - a + 1

Extremamente grato pelo auxílio de ambos.