Principio da indução finita

por rodrigomalan Sex 20 Abr 2018, 16:43

Prove por indução finita que:

por renan2014 Sáb 21 Abr 2018, 17:26

n=2 é verdade.

Suponha que seja verdade para um k e tente chegar na tese.

Hipótese: $2^{k}>1+k\sqrt{2^{k-1}}$

Tese: $2^{k+1}>1+(k+1)\sqrt{2^{k}}$

Pegando a hipótese e multiplicando ambos lados por 2 teremos:

$2^{k+1}>2+2k\sqrt{2^{k-1}}$

Agora eu pego esse 2 que multiplica o k e troco por raiz de 2 vezes raiz de 2:
$2^{k+1}>2+k\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{2^{k-1}}$

$2^{k+1}>2+k\sqrt{2}.\sqrt{2^{k}}$

$2^{k+1}>1+\underset{Vamos\: analisar}{\underbrace{1+k\sqrt{2}.\sqrt{2^{k}}}}$

Perceba a semelhança entre o que eu sinalizei e o que queremos chegar, que é a tese.

Sabe-se que $k\sqrt{2}>k+1\: ,\forall\, k\geq 2$

Então, provamos o que queriamos:

$2^{k+1}>1+(1+k\sqrt{2}.\sqrt{2^{k}})>1+k\sqrt{2}.\sqrt{2^{k}}>1+(k+1)\sqrt{2^{k}}$