Polinômio -(qualquer valor real)

por rodrigomr Seg 13 Jun 2011, 13:07

Um polinômio P(x) = x³+ax²+bx+c satisfaz as seguintes condições: P(1) = 0, P(-x)+P(x) = 0, qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2)?

R: 6

por **Adam Zunoeta** Seg 13 Jun 2011, 13:41

Um polinômio P(x) = x³+ax²+bx+c satisfaz as seguintes condições: P(1) = 0, P(-x)+P(x) = 0, qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2)?

R: 6

P(1) = 0

1+a+b+c=0 --->a+b+c=-1 (1)

P(1)+P(-1)=0 --->P(-1)=0

-1+a-b+c=0 --->a-b+c=1 (2)

(1)-(2) -->2b=-2 --->b=-1

De (2) vem,

a+c=0

P(x) = x³+ax²-x+c

P(2)+P(-2)=0

(8+4a-2+c)+(-8+4a+2+c)=0

8a+2c=0

4a+c=0

P(2)=8+4a-2+c=6+(4a+c)

P(2)=6

por **Matheus Basílio** Seg 13 Jun 2011, 13:45

P(1)=0 -> P(1)=1³+a.1²+b.1+c=0 -> a + b + c = - 1 (I)

Pelo enunciado, temos:

P(-0)+P(0)=0

0³+a.0²+b.0+c+0³+a.0²+b.0+c=0 -> 2c=0 -> c=0

Novamente pelo enunciado temos:

P(-1) + P(1) = 0 -> (-1)³+a.(-1)²+b.(-1)+c+1³+a.1²+b.1+c=0 -> -1+a-b+1+a+b+c=0 -> 2a+2c=0 -> a=0

Substituindo a e b em (I):

b=-1

P(x)=x³+0.x²+(-1).x+0 -> P(x)=x³-x

Para P(2):

P(2)=2³-2=8-2=6