Raízes

por **Willian Honorio** Dom 18 Mar 2018, 23:58

Demonstre uma expressão analítica que forneça as raízes da equação p(x)=a.x³+b.x²+c.x+d em função dos coeficientes a,b,c e d.

Caso ninguém consiga, postarei a resposta em torno de uma semana.

por **Kayo Emanuel Salvino** Qui 29 Mar 2018, 21:48

Pode colocar a resposta ?

por **Willian Honorio** Sex 30 Mar 2018, 03:00

Peço escusas pela violação do prazo estipulado, esqueci-me deste tópico. Segue resolução:

$p(x)=a.x^{3}+b.x^{2}+c.x+d\\z=x+\alpha$

Buscamos um alfa tal que a transformada aditiva x=z-α seja desprovida de termo do segundo grau. Com isso, faremos o polinômio em z recair no caso de Tartaglia:

$p(x)=g(z)=a.(z-\alpha )^{3}+b.(z-\alpha )^{2}+c.(z-\alpha )+d\\\\a(z^{3}-3.z^{2}.\alpha +3.\alpha ^{2}.z-\alpha ^{3})+b(z^{2}-2.\alpha .z+\alpha ^{2})+c.z-c.\alpha +d\\=a.z^{3}+(b-3.a.\alpha ).z^{2}+(3.a.\alpha ^{2}-2.b.\alpha +c).z+(b.\alpha ^{2}+d-a.\alpha ^{3})$

E como queremos que g(z) seja desprovido de termo do 2.º grau:

$b-3.a.\alpha =0\Rightarrow \alpha =\frac{b}{3.a}$

Substituindo em g(z), acharemos o polinômio:

$g(z)=a.z^{3}+\left ( \frac{b^{2}}{3.a}-\frac{2.b^{2}}{3.a}+c \right )z+\left ( \frac{b^{3}}{9.a^{2}}-\frac{b^{3}}{27.a^{2}}+d-\frac{b.c}{3.a} \right )=0\\(\div a)\\\\z^{3}+\left ( \frac{b^{2}}{3.a^{2}}-\frac{2.b^{2}}{3.a^{2}}+\frac{c}{a} \right )z+\left ( \frac{b^{3}}{9.a^{3}}-\frac{b^{3}}{27.a^{3}}+\frac{d}{a}-\frac{b.c}{3.a^{2}} \right )=0$

Organizando os coeficientes:

$z^{3}+\left ( \frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{3.a^{2}} \right ).z+\left ( \frac{2.b^{3}}{27.a^{3}}-\frac{b.c}{3.a^{2}}+\frac{d}{a} \right )=0$

Que é um polinômio sem termo do segundo grau. Lembremo-nos da Fórmula de Tartaglia (em termos da variável z):

$z^{3}+p.z+q=0\\\\\Rightarrow z=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{p^{2}}{4}+\frac{q^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{\frac{p^{2}}{4}+\frac{q^{3}}{27}}}$

Utilizando-a e lembrando da transformada x=z-α

as raízes de p(x)=a.x³+b.x²+c.x+d=0 são da forma:

$x=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{p^{2}}{4}+\frac{q^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{\frac{p^{2}}{4}+\frac{q^{3}}{27}}}-\frac{b}{3.a}\\\\p=\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{3.a^{2}}\\\\q=\frac{2.b^{3}}{27.a^{3}}-\frac{b.c}{3.a^{2}}+\frac{d}{a}$

Numa forma reduzida. Na geral teríamos:

$a.x^{3}+b.x^{2}+c.x+d=0\\\\\Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{-b^{3}}{27.a^{3}}+\frac{b.c}{6.a^{2}}-\frac{d}{2.a}+\sqrt{\left ( \frac{-b^{3}}{27.a^{3}}+\frac{b.c}{6.a^{2}}-\frac{d}{2.a} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{3.a}-\frac{b^{2}}{9.a^{2}} \right )^{3}}}\\\\+\sqrt[3]{\frac{-b^{3}}{27.a^{3}}+\frac{b.c}{6.a^{2}}-\frac{d}{2.a}-\sqrt{\left ( \frac{-b^{3}}{27.a^{3}}+\frac{b.c}{6.a^{2}}-\frac{d}{2.a} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{3.a}-\frac{b^{2}}{9.a^{2}} \right )^{3}}}-\frac{b}{3.a}$

Expressão deduzida pelo matemático Girolamo Cardano no qual utilizou e generalizou a expressão de Tartaglia. A ideia por traz da dedução dessa expressão é relativamente simples. É claro que o processamento algébrico é muito mais extenso, porém, acabei deixando apenas as passagens essenciais.

por **Kayo Emanuel Salvino** Sex 30 Mar 2018, 08:21

Ainda não estudei isso mas bela resolução!

Parabéns.

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