Produto vetorial e escalar

por Renan Novaes Qua 14 Mar 2018, 00:02

Boa noite.

Quaisquer que sejam os vetores A, B e C, prove que A.(BxC) = (AxB).C

Infelizmente não possuo o gabarito.

Obrigado.

por Golincon Seg 19 Mar 2018, 16:13

Sejam os 3 vetores a, b e c, tais que:

\vec{a} = (a_{i}, a_{j}, a_{k})
\vec{b} = (b_{i}, b_{j}, b_{k})
\vec{c} = (c_{i}, c_{j}, c_{k})

Façamos a x b:

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \^i & \^j & \^k \\ a_{i} & a_{j} & a_{k}\\ b_{i} & b_{j} & b_{k} \end{vmatrix} = (a_{j}b_{k}-a_{k}b_{j}, a_{k}b_{i}-a_{i}b_{k}, a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})

Agora, o escalar de c com (a x b)

\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = (c_{i}a_{j}b_{k}-c_{i}a_{k}b_{j}, c_{j}a_{k}b_{i}-c_{j}a_{i}b_{k}, c_{k}a_{i}b_{j}-c_{k}a_{j}b_{i})

Analogamente, façamos b x c e, depois, o escalar deste com a.

\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \^i & \^j & \^k \\ b_{i} & b_{j} & b_{k}\\ c_{i} & c_{j} & c_{k} \end{vmatrix} = (b_{j}c_{k}-b_{k}c_{j}, b_{k}c_{i}-b_{i}c_{k}, b_{i}c_{j}-b_{j}c_{i})

\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (a_{i}b_{j}c_{k}-a_{i}b_{k}c_{j}, a_{j}b_{k}c_{i}-a_{j}b_{i}c_{k}, a_{k}b_{i}c_{j}-a_{k}b_{j}c_{i})

Concluímos, portanto, que a propriedade é falsa. De fato, dois vetores x = (a, b, c) e y = (d, e, f) são iguais, por definição, se e somente se a = d, b = e e c = f.

Sugiro rever o enunciado da questão e/ou o gabarito.

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