Quanto deve ser depositado mensalmente?

Uma pessoa, planejando a construção de uma casa, prevê dispêndios mensais de $ 100.000,00 nos meses de setembro, outubro e novembro. Quanto deve ser depositado mensalmente de janeiro a agosto, do mesmo ano, para que seja possível efetuar tais retiradas? Considerar remuneração de 3% a.m. sobre os depósitos.

R: $ 31.809,54

Luiz 2017 escreveu:

Uma pessoa, planejando a construção de uma casa, prevê dispêndios mensais de $ 100.000,00 nos meses de setembro, outubro e novembro. Quanto deve ser depositado mensalmente de janeiro a agosto, do mesmo ano, para que seja possível efetuar tais retiradas? Considerar remuneração de 3% a.m. sobre os depósitos.

R: $ 31.809,54

Olá.

Tempo total das operações = 11 meses (janeiro a novembro)

Montante dos depósitos necessário para fazer frente às retiradas:

i = 3% a.m.
n1 = 8 depósitos mensais + 3 capitalizações mensais (n2)
PMT = ?
FV1 = ?

FV1 = PMT*[(1+i)^n1-1]/i*(1+i)^n2
---->
FV1 = PMT*[1,03^8-1]/0,03*1,03^3
---->
FV1 = PMT*0,26677/0,03*1,09273
---->
FV1 = PMT*0,26677*1,09273/0,03
---->
FV1 = PMT*0,26677*36,42433
---->
FV1 = PMT*9,71692

Montante da retiradas:

i = 3% a.m.
PMT = 100000
n = 3
FV2 = ?

FV2 = PMT*[(1+i)^n-1]/i
---->
FV2 = 100000*[1,03^3-1]/0,03
---->
FV2 = 100000*0,092727/0,03
---->
FV2 = 9272,7000/0,03
---->
FV2 = 309090,00

Pelo princípio de equivalência de capitais, temos que FV1 = FV2. Logo:

PMT*9,71692 = 309090,00
---->
PMT = 309090,00/9,71692
---->
PMT = 31.809,46---->resposta


Um abraço.

jota-r, minha solução tem um caminho um pouco diferente do seu, mas chega ao mesmo resultado:


O montante dos oito depósitos deve ser igual ao valor presente das três retiradas, isto é:

PMT_1 \cdot \frac {(1+i)^{n_1} - 1}{i} = PMT_2 \cdot \frac {1-(1+i)^{-n_2}}{i}

onde:

n₁ = 8 meses
n₂ = 3 meses
PMT₁ = ?
PMT₂ = 100.000,00
i = 0,03 a.m.

Substituindo valores:

PMT_1 \cdot \frac {(1+0,03)^{8} - 1}{0,03} = 100000 \cdot \frac {1-(1+0,03)^{-3}}{0,03}

PMT_1 \cdot 8,892336046 = 282861,1355

\boxed{PMT_1 = \$\; 31.809,54}