Polinômios - Uesb 2018

por André Luís Malheiros Ter 06 Mar 2018, 18:30

Considerando-se que P(x) é um polinômio completo de grau 4, pode-se afirmar, corretamente, que ele tem
01)Uma raiz real nula
02) Uma raiz real dupla
03) Quatro raízes complexas
04)quatro raízes reais e distintas
05) apenas duas raízes reais e distintas
Considerei que a certa seria a afirmativa indicada pelo número 03, porque como os números complexos embarcam os números reais, necessariamente o polinômio teria quatro raízes complexas. Todavia, o gabarito indica que a correta é a 02. O que acham?

por **Elcioschin** Ter 06 Mar 2018, 18:51

Seja o polinômio P(x) = x⁴ - 10.x³ + 35.x² - 50.x + 24

Este polinômio, fatorado, é P(x) = (x - 1).(x - 2).(x - 3).(x - 4)

Note que:

1) É um polinômio completo do 4º grau (os coeficientes são todos diferentes de zero)

2) Tem 4 raízes reais distintas

Isto NÃO confirma a alternativa 02

Ou existe erro no enunciado ou o gabarito está errado. Por favor, confira

por André Luís Malheiros Ter 06 Mar 2018, 18:57

Não há erro no enunciado, o gabarito está errado. Vou entrar com um recurso.

por feliciamed10 Seg 07 Jan 2019, 11:24

André Luís Malheiros vc poderia explicar como vc achou a resposta?

por **Elcioschin** Seg 07 Jan 2019, 12:17

Eu não cheguei na resposta: apenas provei que o gabarito 02 está errado.
Mas é fácil provar que 01, 03, 04 e 05 também estão errados:

Um polinômio completo de 4º grau pode ter:

a) 4 raízes reais (todas distintas, 2 distintas e 2 iguais, 1 distinta e 3 iguais e todas iguais)
b) 2 raízes reais (distintas ou não) e duas raízes complexas (distintas) .
c) 4 raízes complexas, (duas distintas ou não)

01) Uma raiz real nula - Falsa:

Para um polinômio ter uma raiz nula é necessário que o termo independente seja nulo, por exemplo:

P(x) = x⁴ - 10.x³ + 35.x² - 50.x ---> P(x) = x.(x³ - 10.x² + 35.x - 50) ---> x = 0 é uma das três raízes

Logo, não é polinômio completo

02) Já provado, com um contra-exemplo.

03) Não dá para afirmar

04) Não dá para afirmar

05) Não dá para afirmar

Caso você tenha o original da questão e do gabarito, por favor, poste aqui.