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[UESB 2018] Inequação envolvendo log
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[UESB 2018] Inequação envolvendo log
por MatheusDacach Dom 20 Jan 2019, 00:12
| É correto afirmar que o conjunto-solução da inequação em x R, expressa por log2 (x3 – x2 + 1) ≥ 0, é 01) ] -∞,-1] [1, + ∞[ 02) [-1, 1] 03) [ 0, + ∞[ 04) [ 1, + ∞[ 05) [-1,0] [ 1, + ∞[ |
Minha dúvida é:
Por que o 0 não entra no conjunto-solução?
MatheusDacach- Iniciante
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Re: [UESB 2018] Inequação envolvendo log
por Giovana Martins Seg 21 Jan 2019, 01:45
Estou intrigada com esta questão hahaha. Do jeito que eu fiz chegou no resultado, mas a resolução claramente está incompleta, porque eu simplesmente ignorei as condições de existência do logaritmando. O problema é que está complicando achar uma fatoração que auxilie no estudo do sinal do logaritmando. O Wolfram me sugeriu fazer a seguinte substituição x=y+(1/3), mas eu não sei para onde isso me leva, porque eu desenvolvi e não ficou bom, sem contar que essa substituição não me parece ser algo intuitivo a ponto de ser cobrada essa visão em uma prova objetiva. Enfim, passo a questão para alguém mais sábio.
\\log_2(x^3-x^2+1)\geq 0\\\\log_2(x^3-x^2+1)\geq log_2(1)\\\\x^2(x-1)+1\geq 1\to x^2(x-1)\geq 0\\\\\therefore \ S=\left \{ x\in \mathbb{R}\ /\ x\geq 1 \right \}=\ [1,+\infty[
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Re: [UESB 2018] Inequação envolvendo log
por Giovana Martins Seg 21 Jan 2019, 01:47
É estranho, pois x=0 satisfaz a inequação, mas ainda assim, de fato, ele não pertence ao intervalo para o qual a inequação é satisfeita. Digo isso segundo o Wolfram que chegou no mesmo gabarito postado pelo colega Matheus.
Nota: a não ser que a gente trabalhe com números muito pequenos, o Wolfram não costuma errar ou ser impreciso, então, creio que o Wolfram esteja correto em sua resposta.
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Re: [UESB 2018] Inequação envolvendo log
por Giovana Martins Seg 21 Jan 2019, 01:51
Só para não deixar passar, o nome da substituição utilizada pelo Wolfram é transformada aditiva. Fica aí para os curiosos um recurso que costuma ser útil para achar raízes de polinômios não triviais.
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Re: [UESB 2018] Inequação envolvendo log
por petras Seg 21 Jan 2019, 12:36
Giovana,
Creio que 0 também é solução.
\mathsf{log_2(0-0+1)\geq 0\rightarrow log_21\geq 0\rightarrow 1\geq 1 (ok)}
Jogando no Wolfran ele fornece 0 e x >=1 como resposta
Creio que 0 também é solução.
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Re: [UESB 2018] Inequação envolvendo log
por Giovana Martins Seg 21 Jan 2019, 14:13
Ahh, verdade. Quando eu joguei no programa ele não me retornou como resposta x=0. Minha net tava meio ruim nessa hora, daí a página não deve ter carregado direito.
Quanto ao logaritmando, deve haver alguma saída mais simples de estudar o sinal de f(x)=x³-x²+1, mas ainda não consegui ver.
Quanto ao logaritmando, deve haver alguma saída mais simples de estudar o sinal de f(x)=x³-x²+1, mas ainda não consegui ver.
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Re: [UESB 2018] Inequação envolvendo log
por be_osc Qua 02 Out 2019, 00:05
Amigos, por favor! Como o zero pode estar fora do intervalo e ser solução? Eu estou bugado aqui. Resolvi e a resposta foi 04, mas não consigo aceitar o fato de o zero não estar no intervalo. Alguém explica isso, por favor?
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Re: [UESB 2018] Inequação envolvendo log
por Elcioschin Qua 02 Out 2019, 00:39
Uma possibilidade é o erro estar no enunciado e na alternativa 04:
Deve ser log2(x³ - x² + 1) > 0 (e não ≥ 0):
log2(x³ - x² + 1) > log21
x³ - x² + 1 > 1 ---> x³ - x² > 0 ---> x².(x - 1) > 0
O fator x² é sempre positivo, logo o sinal da função depende apenas do 2º fator: x - 1 > 0 ---> x > 1
04) ]1, ∞[
Deve ser log2(x³ - x² + 1) > 0 (e não ≥ 0):
log2(x³ - x² + 1) > log21
x³ - x² + 1 > 1 ---> x³ - x² > 0 ---> x².(x - 1) > 0
O fator x² é sempre positivo, logo o sinal da função depende apenas do 2º fator: x - 1 > 0 ---> x > 1
04) ]1, ∞[
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