Qual será o saldo no final do 36º. mês?

por **jota-r** Sex 16 Fev 2018, 18:21

Olá.

Um investidor pretende aplicar em uma instituição financeira, que remunera à taxa de juros simples de 1,8% ao mês, fazendo uma série de cinco depósitos da seguinte maneira:

1º mês: depósito de $ 5.000,00
9º mês: depósito de $ 3.000,00
14º mês: depósito de $ 12.000,00
16º mês: depósito de $ 10.000,00
25º mês: depósito de $ 7.000,00

Sabendo que os depósitos são feitos sempre no final de cada mês, qual será o seu saldo ao término do 36º mês?

Estou resolvendo. Ainda não sei a resposta.

Um abraço.

por Luiz 2017 Sex 16 Fev 2018, 22:21

jota-r escreveu:Olá.

Um investidor pretende aplicar em uma instituição financeira, que remunera à taxa de juros simples de 1,8% ao mês, fazendo uma série de cinco depósitos da seguinte maneira:

1º mês: depósito de $ 5.000,00
9º mês: depósito de $ 3.000,00
14º mês: depósito de $ 12.000,00
16º mês: depósito de $ 10.000,00
25º mês: depósito de $ 7.000,00

Sabendo que os depósitos são feitos sempre no final de cada mês, qual será o seu saldo ao término do 36º mês?

Estou resolvendo. Ainda não sei a resposta.

Um abraço.

Solução:

Trata-se de uma série financeira de natureza aleatória. A forma de obter o seu valor futuro é calculá-los individualmente para cada termo, e realizar a soma dos mesmos.

A fórmula geral do valor futuro de série aleatória postecipada à juros compostos é:

\\\small{FV = PMT_1\cdot(1+i)^{n-n_1} + PMT_2\cdot(1+i)^{n-n_2} + PMT_3\cdot(1+i)^{n-n_3}}
\small{ + PMT_4\cdot(1+i)^{n-n_4} + PMT_5\cdot(1+i)^{n-n_5}}

Analogamente, a fórmula geral do valor futuro de série aleatória postecipada à juros simples será:

\\\small{FV = PMT_1\cdot[1+(n-n_1)i] + PMT_2\cdot[1+(n-n_2)i] + PMT_3\cdot[1+(n-n_3)i]}
\small{ + PMT_4\cdot[1+(n-n_4)i] + PMT_5\cdot[1+(n-n_5)i]}

onde:

Parcelas:
PMT₁ = valor do 1º depósito = 5000
PMT₂ = valor do 2º depósito = 3000
PMT₃ = valor do 3º depósito = 12000
PMT₄ = valor do 4º depósito = 10000
PMT₅ = valor do 5º depósito = 7000

Meses:
n₁ = período onde ocorreu o 1º depósito = 1
n₂ = período onde ocorreu o 2º depósito = 9
n₃ = período onde ocorreu o 3º depósito = 14
n₄ = período onde ocorreu o 4º depósito = 16
n₅ = período onde ocorreu o 5º depósito = 25
n = nº total de períodos de tempo (em meses) = 36

Taxa mensal:
i = 0,018

Substituindo valores:

\\\small{FV = 5000\cdot[1+(36-1)0,018] + 3000\cdot[1+(36-9)0,018] + 12000\cdot[1+(36-14)0,018]}
\small{+ 10000\cdot[1+(36-16)0,018] + 7000\cdot[1+(36-25)0,018]}

FV = 8150 + 4458 + 16752 + 13600 + 8386

\boxed{FV = \$\;51.346,00}

por **jota-r** Sáb 17 Fev 2018, 13:19

Luiz 2017 escreveu:
jota-r escreveu:Olá.

Um investidor pretende aplicar em uma instituição financeira, que remunera à taxa de juros simples de 1,8% ao mês, fazendo uma série de cinco depósitos da seguinte maneira:

1º mês: depósito de $ 5.000,00
9º mês: depósito de $ 3.000,00
14º mês: depósito de $ 12.000,00
16º mês: depósito de $ 10.000,00
25º mês: depósito de $ 7.000,00

Sabendo que os depósitos são feitos sempre no final de cada mês, qual será o seu saldo ao término do 36º mês?

Estou resolvendo. Ainda não sei a resposta.

Um abraço.

Solução:

Trata-se de uma série financeira de natureza aleatória. A forma de obter o seu valor futuro é calculá-los individualmente para cada termo, e realizar a soma dos mesmos.

A fórmula geral do valor futuro de série aleatória antecipada à juros compostos é:

\\\small{FV = PMT_1\cdot(1+i)^{n-n_1+1} + PMT_2\cdot(1+i)^{n-n_2+1} + PMT_3\cdot(1+i)^{n-n_3+1}}
\small{ + PMT_4\cdot(1+i)^{n-n_4+1} + PMT_5\cdot(1+i)^{n-n_5+1}}

Analogamente, a fórmula geral do valor futuro de série aleatória antecipada à juros simples será:

\\\small{FV = PMT_1\cdot[1+(n-n_1+1)i] + PMT_2\cdot[1+(n-n_2+1)i] + PMT_3\cdot[1+(n-n_3+1)i]}
\small{ + PMT_4\cdot[1+(n-n_4+1)i] + PMT_5\cdot[1+(n-n_5+1)i]}

onde:

Parcelas:
PMT₁ = valor do 1º depósito = 5000
PMT₂ = valor do 2º depósito = 3000
PMT₃ = valor do 3º depósito = 12000
PMT₄ = valor do 4º depósito = 10000
PMT₅ = valor do 5º depósito = 7000

Meses:
n₁ = período onde ocorreu o 1º depósito = 1
n₂ = período onde ocorreu o 2º depósito = 9
n₃ = período onde ocorreu o 3º depósito = 14
n₄ = período onde ocorreu o 4º depósito = 16
n₅ = período onde ocorreu o 5º depósito = 25
n = nº total de períodos de tempo (em meses) = 36

Taxa mensal:
i = 0,018

Substituindo valores:

\\\small{FV = 5000\cdot[1+(36-1+1)0,018] + 3000\cdot[1+(36-9+1)0,018] + 12000\cdot[1+(36-14+1)0,018]}
\small{+ 10000\cdot[1+(36-16+1)0,018] + 7000\cdot[1+(36-25+1)0,018]}

FV = 8240 + 4512 + 16968 + 13780 + 8512

\boxed{FV = \$\;52.012,00}

Obrigado, só que a série é de termos postecipados.

Sds.

por Luiz 2017 Sáb 17 Fev 2018, 17:59

jota-r escreveu:
Obrigado, só que a série é de termos postecipados.

Sds.

Corrigido.

Abçs.

por **jota-r** Sáb 17 Fev 2018, 18:53

Luiz 2017 escreveu:
jota-r escreveu:
Obrigado, só que a série é de termos postecipados.

Sds.

Corrigido.

Abçs.

Meu resultado é 51.436,00. Estaria equivocado? Vou rever minha resolução.

Sds.

por **jota-r** Dom 18 Fev 2018, 13:05

jota-r escreveu:
Luiz 2017 escreveu:
jota-r escreveu:
Obrigado, só que a série é de termos postecipados.

Sds.

Corrigido.

Abçs.
Meu resultado é 51.436,00. Estaria equivocado? Vou rever minha resolução.

Sds.

Olá.

Dados:

i1 = i2 = i3 = i4 = i5 = 1,8% a.m = 0,018 a.m.
C1 = 5000; n1 = 36 meses
C2 = 3000; n2 = (36-9) meses = 27 meses
C3 = 12000; n3 = (36-14) meses = 22 meses
C4 = 10000; n4 = (36-16) meses = 20 meses
C5 = 7000; n5 = (36-25) meses = 11 meses

A série é de termos totalmente variáveis e a solução "feijão-com-arroz" consiste na resolução de tantas equações de valor [(FV = C*(1+i*n)] quantos forem os valores envolvidos. Seria assim:

FVt = C1*(1+i1*n1) + C2*(1+i2*n2) + C3*(1+i3*n3) + C4*(1+i4*n4) + C5*(1+i5*n5)
---->
FVt = 5000*(1+0,018*36) + 3000*(1+0,018*27) + 12000*(1+0,018*22) + 10000*(1+0,018*20) + 7000*(1+0,018*11)
---->
FVt = 5000*1,6480 + 3000*1,4860 + 12000*1,3960 + 10000*1,3600 + 7000*1,1980
---->
FVt = 8240,00 + 4458,00 + 16752,00 + 13600,00 + 8386,00
---->
FVt = 51.436,00---->resposta

Mas existe outra resolução para problemas deste tipo e que, embora um pouco mais trabalhosa, ganha em charme da resolução "feijão-com-arroz".
Trata-se da resolução baseada no "Prazo Médio - PM" e no "Valor Médio - CM", referentes, respectivamente, aos prazos e valores dos capitais envolvidos (PM). Poderia também se basear na "Taxa Média - TM", se as taxas fossem diferentes, o que não é o caso deste exercício. Para quem interessar, vez que não vou apresentar a demonstração das fórmulas aplicadas, vai aqui a resolução:

Cálculo do prazo médio:

PM = [(C1*i1*n1) + (C2*i2*n2) + (C3*i3*n3) + (C4*i4*n4 ) + (C5*i5*n5)]/[(C1*i1) + (C2*i2) + (C3*i3) + (C4*i4) + (C5*i5)]

Aqui dá para simplificar os capitais: dividindo cada um por 1.000, temos: 5; 3; 12; 10; 7. Logo:

PM = [5*0,018*36) + (3*0,018*27) + (12*0,018*22) + (10*0,018*20 ) + (7*0,018*11)]/[5*0,018 + 3*0,018 + 12*0,018 + 10*0,018 + 7*0,018]
---->
PM = 14,4360/0,6660
---->
PM = 21,675676

Calcúlo do valor médio:

CM = [(C1*i1*n1)+(C2*i2*n2)+(C3*i3*n3)+(C4*i4*n4)+(C5*i5*n3)]/[(i1*n1)+(i2*n2)+(i3*n3)+(i4*n4)+(i5*n5)]
---->
CM = [5000*0,018*21,675676 + 3000*0,018*21,675676 + 12000*0,018*21,675676 + 10000*0,018*21,675676 + 7000*0,018*21,675676]/
/[0,018*21,675676 + 0,018*21,675676 + 0,018*21,675676+ 0,018*21,675676 + 0,018*21,675676]
---->
CM = 14436,000216/1,950811
---->
CM = 7399,999393

Agora, aplicando a equação de valor FVt = CM*5*(1+i*PM), vem:

FVt = 7399,999393*5*(1+0,018*21,675676)
---->
FVt = 37000*1,390162
---->
FVt = 51.436,00---->resposta.

Um abraço.

por Luiz 2017 Dom 18 Fev 2018, 15:35

jota-r escreveu:
Meu resultado é 51.436,00. Estaria equivocado?

Sds.

jota-r você escreveu:

"A série é de termos totalmente variáveis e a solução "feijão-com-arroz" consiste na resolução de tantas equações de valor [(FV = C*(1+i*n)] quantos forem os valores envolvidos. Seria assim:

FVt = C1*(1+i1*n1) + C2*(1+i2*n2) + C3*(1+i3*n3) + C4*(1+i4*n4) + C5*(1+i5*n5)"

Até aqui concordo com seus cálculos. Estão Ok. Daí em diante temos que avaliar quais os valores que iremos atribuir a n1, n2, n3, n4 e n5.

Vamos examinar apenas n1.

De acordo com o exercício, a série é constituída de 36 intervalos de tempo, qual seja, 36 meses.

Se, conforme diz o enunciado, os depósitos são realizados no final de cada mês, então está explícito que o primeiro depósito não será contemplado pelo primeiro mês da série, uma vez que quando ocorrer tal depósito, o primeiro mês estará expirado, o que resultará em computar para este depósito, para fins de cálculo do montante, somente os demais 35 meses, ou seja, 36-1. Assim estaremos resolvendo o exercício sem contrariar o seu enunciado, isto é, fazendo n1=35.

Desta forma teremos para o primeiro termo um montante de:

C1*(1+i1*n1) = 5000*[1 + 0,018*(36-1)] = 5000*(1 + 0,018*35) = 5000*1,63 = 8150

Mas você não fez assim. Você fez:

C1*(1+i1*n1) = 5000*(1+0,018*36) = 5000*(1 + 0,018*36) = 5000*1,648 = 8240

não levou em conta este pormenor da série.

Por isto o seu FVt deu 51.436,00 e não 51.346,00.

(curiosamente você computou os tempos corretos para os demais termos)

Sds.

por Luiz 2017 Ter 20 Fev 2018, 23:44

Luiz 2017 escreveu:
jota-r escreveu:
Meu resultado é 51.436,00. Estaria equivocado?

Sds.

jota-r você escreveu:

"A série é de termos totalmente variáveis e a solução "feijão-com-arroz" consiste na resolução de tantas equações de valor [(FV = C*(1+i*n)] quantos forem os valores envolvidos. Seria assim:

FVt = C1*(1+i1*n1) + C2*(1+i2*n2) + C3*(1+i3*n3) + C4*(1+i4*n4) + C5*(1+i5*n5)"

Até aqui concordo com seus cálculos. Estão Ok. Daí em diante temos que avaliar quais os valores que iremos atribuir a n1, n2, n3, n4 e n5.

Vamos examinar apenas n1.

De acordo com o exercício, a série é constituída de 36 intervalos de tempo, qual seja, 36 meses.

Se, conforme diz o enunciado, os depósitos são realizados no final de cada mês, então está explícito que o primeiro depósito não será contemplado pelo primeiro mês da série, uma vez que quando ocorrer tal depósito, o primeiro mês estará expirado, o que resultará em computar para este depósito, para fins de cálculo do montante, somente os demais 35 meses, ou seja, 36-1. Assim estaremos resolvendo o exercício sem contrariar o seu enunciado, isto é, fazendo n1=35.

Desta forma teremos para o primeiro termo um montante de:

C1*(1+i1*n1) = 5000*[1 + 0,018*(36-1)] = 5000*(1 + 0,018*35) = 5000*1,63 = 8150

Mas você não fez assim. Você fez:

C1*(1+i1*n1) = 5000*(1+0,018*36) = 5000*(1 + 0,018*36) = 5000*1,648 = 8240

não levou em conta este pormenor da série.

Por isto o seu FVt deu 51.436,00 e não 51.346,00.

(curiosamente você computou os tempos corretos para os demais termos)

Sds.