Qual será o saldo?

por Luiz 2017 Dom 24 Dez 2017, 12:56

O padrinho de certa criança estabeleceu que, a cada aniversário do afilhado, efetuaria um depósito de $ 100.000,00 vezes a idade sendo comemorada. Se, começando na data do primeiro aniversário, os depósitos forem efetuados em uma Caderneta de Poupança que remunera a taxa de 0,5% a.m., até a data do 18º aniversário, inclusive, qual será o saldo quando o afilhado completar 21 anos?

R: $ 29.759.183,69
Atenção: o livro de onde foi retirado o problema é antigo onde se usava "tabelas de juros" na solução de problemas. Portanto um resultado atual, feito com calculadoras financeiras ou no Wolfram-Alpha, que dão resultados altamente precisos, pode não coincidir com o gabarito. Por conseguinte pequenas diferenças são admissíveis.

por Luiz 2017 Qua 27 Dez 2017, 12:24

Luiz 2017 escreveu:O padrinho de certa criança estabeleceu que, a cada aniversário do afilhado, efetuaria um depósito de $ 100.000,00 vezes a idade sendo comemorada. Se, começando na data do primeiro aniversário, os depósitos forem efetuados em uma Caderneta de Poupança que remunera a taxa de 0,5% a.m., até a data do 18º aniversário, inclusive, qual será o saldo quando o afilhado completar 21 anos?

R: $ 29.759.183,69
Atenção: o livro de onde foi retirado o problema é antigo onde se usava "tabelas de juros" na solução de problemas. Portanto um resultado atual, feito com calculadoras financeiras ou no Wolfram-Alpha, que dão resultados altamente precisos, pode não coincidir com o gabarito. Por conseguinte pequenas diferenças são admissíveis.

Solução:

p = 100.000,00
G = 100.000,00
i = 0,5% a.m. = 0,005 a.m. = (1.005)¹²-1 = 0,061678 a.a.
FV = ?

1º) De 0 a 18 anos:

n = 18 anos

Valor futuro de série postecipada em progressão aritmética crescente:

FV_1 = p \cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i}\right] + \frac{G}{i} \cdot \left[ \frac{(1+i)^n - 1}{i} - n \right]

Substituindo valores:

FV_1 = 100000 \times \left[ \frac{(1+0,061678)^{18} -1}{0,061678}\right] + \frac{100000}{0,061678} \times \left[ \frac{(1+0,061678)^{18} - 1}{0,061678} - 18 \right]

FV_1 = 100000 \times 31,14013966 + 1621323,649 \times 13,4013966

FV_1 = 31140139,66 + 21728001,23

FV_1 = 24.868.140,89

2º) De 18 a 21 anos:

Valor futuro FV₂ a ser recebido, à certa taxa de juros i, por determinado valor presente PV, ao final do prazo n:

FV_2 = PV \cdot (1+i)^n

sendo:

n = 3 anos
PV = FV₁ = 24.868.140,89
i = 0,061678 a.a.

Substituindo valores:

FV_2 = 24868140,89 \times (1+0,061678)^3

\boxed{ \bf{ FV_2 \approx \$ \;29.759.235,71 } }

Nota: deu uma diferença de 52,02 em relação ao gabarito porque nos cálculos foram computadas até 8 casas decimais.

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