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Qual o saldo devedor?

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Mensagem por Luiz 2017 Sáb 17 Jun 2017, 14:45




Uma pessoa compra um automóvel por R$ 50.000,00 financiado a uma taxa de juros de 2,175% a.m. Sabendo que sua prestação é constante e igual a R$ 1.500,00 mensais, qual será o seu saldo devedor imediatamente após pagar a 30ª prestação?

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Qual o saldo devedor? Empty Re: Qual o saldo devedor?

Mensagem por Faxineiro do ITA Sáb 17 Jun 2017, 15:03

Luiz 2017 escreveu:Uma pessoa compra um automóvel por R$ 50.000,00 financiado a uma taxa de juros de 2,175% a.m. Sabendo que sua prestação é constante e igual a R$ 1.500,00 mensais, qual será o seu saldo devedor imediatamente após pagar a 30ª prestação?

M = C + J 
M = C + Ci^t = C(1 + i)^t
M = 50000(1 + 0,02175)^30 - 1500x30

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Mensagem por Luiz 2017 Sáb 17 Jun 2017, 19:47

Faxineiro do ITA escreveu:
Luiz 2017 escreveu:Uma pessoa compra um automóvel por R$ 50.000,00 financiado a uma taxa de juros de 2,175% a.m. Sabendo que sua prestação é constante e igual a R$ 1.500,00 mensais, qual será o seu saldo devedor imediatamente após pagar a 30ª prestação?

M = C + J 
M = C + Ci^t = C(1 + i)^t
M = 50000(1 + 0,02175)^30 - 1500x30


Qual é o saldo devedor?

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Mensagem por jota-r Seg 19 Jun 2017, 13:18

Luiz 2017 escreveu:


Uma pessoa compra um automóvel por R$ 50.000,00 financiado a uma taxa de juros de 2,175% a.m. Sabendo que sua prestação é constante e igual a R$ 1.500,00 mensais, qual será o seu saldo devedor imediatamente após pagar a 30ª prestação?
Olá.


50000 = 1500*(1,02175^n-1)/(1,02175^n*0,02175) 
---->
50000/1500 = (1,02175^n-1)/(1,02175^n*0,02175)
---->
33,3333 = (1,02175^n-1)/(1,02175^n*0,02175)
---->
33,3333*(1,02175^n*0,02175) = (1,02175^n-1)
---->
33,3333*0,02175*(1,02175^n) = (1,02175^n-1)
---->
33,3333*0,02175*(1,02175^n) = (1,02175^n-1)
---->
0,72500*1,02175^n = 1,02175^n-1
---->
0,72500*1,02175^n - 1,02175^n = -1
---->
1,02175^n*(0,72500 - 1) = -1
---->
1,02175^n*(0,72500 - 1) = -1/(0,72500 - 1)
---->
1,02175^n = 3,63636
---->
n = log 3,63636/log 1,02175 = 60 meses 


Pt = PMT*FVA(i, n-t)
---->
P30 = 1500*FVA(2,175%, 60-30)
---->
P30 = 1500*FVA (2,175%, 30)

Como FVA (2,175%, 30) = (1,02175^30-1)/(1,02175^30*0,02175) = 21,86678, temos que:

P30 = 1500*21,86678 = 32.800,17---->resposta



Um abraço.

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Mensagem por Luiz 2017 Seg 19 Jun 2017, 14:18

jota-r escreveu:

Olá.


50000 = 1500*(1,02175^n-1)/(1,02175^n*0,02175) 
---->
50000/1500 = (1,02175^n-1)/(1,02175^n*0,02175)
---->
33,3333 = (1,02175^n-1)/(1,02175^n*0,02175)
---->
33,3333*(1,02175^n*0,02175) = (1,02175^n-1)
---->
33,3333*0,02175*(1,02175^n) = (1,02175^n-1)
---->
33,3333*0,02175*(1,02175^n) = (1,02175^n-1)
---->
0,72500*1,02175^n = 1,02175^n-1
---->
0,72500*1,02175^n - 1,02175^n = -1
---->
1,02175^n*(0,72500 - 1) = -1
---->
1,02175^n*(0,72500 - 1) = -1/(0,72500 - 1)
---->
1,02175^n = 3,63636
---->
n = log 3,63636/log 1,02175 = 60 meses 


Pt = PMT*FVA(i, n-t)
---->
P30 = 1500*FVA(2,175%, 60-30)
---->
P30 = 1500*FVA (2,175%, 30)

Como FVA (2,175%, 30) = (1,02175^30-1)/(1,02175^30*0,02175) = 21,86678, temos que:

P30 = 1500*21,86678 = 32.800,17---->resposta


Um abraço.




jota-r, a resposta está correta, embora, pra chegar nela você tenha utilizado um caminho mais penoso. Além disso, o que será, meu Deus, que significa Pt e FVA? Não há definição para essas variáveis? Mas, como disse, acertou. Dez.

Na concepção do problema, usei outro caminho, mais simples, intuitivo, conforme segue:

Por definição o saldo devedor de um financiamento, num determinado instante "n", é igual ao valor do financiamento, no instante "n", subtraído do montante dos pagamentos realizados até o mesmo instante "n".

Traduzindo esta definição numa expressão matemática:

\boxed{ S_{n} = PV \cdot (1+i)^n - PMT \cdot \frac {(1+i)^n - 1} {i} }

Obs: aqui vê-se claramente que o saldo devedor de um financiamento não é calculado simplesmente multiplicando-se o valor da prestação pelo número de meses que faltam para pagar.

Dados:

PV = 50.000,00
PMT = 1.500,00
n = 30
i = 2,175% a.m.
S30 = saldo devedor após 30 prestações = ?

Substituindo valores:

S_{30} = 50000 \cdot (1+0,02175)^{30} - 1500 \cdot \frac {(1+0,02175)^{30} - 1} {0,02175}

S_{30} = 50000 \cdot (1,02175)^{30} - 1500 \cdot \frac {(1,02175)^{30} - 1} {0,02175}

S_{30} = 50000 \cdot 1,90695037 - 1500 \cdot \frac {1,90695037 - 1} {0,02175}

S_{30} = 95347,52 - 1500 \cdot \frac {0,90695037} {0,02175}

S_{30} = 95347,52 - 1500 \cdot 41,6988676

S_{30} = 95347,52 - 62548,30

Resposta: S30 = R$ 32.779,22

Só de curiosidade: na metade do prazo do financiamento o tomador do empréstimo ainda deve mais de 65% do valor financiado.




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Mensagem por ivomilton Seg 19 Jun 2017, 15:43

Boa tarde para ambos,

Uma pequena observação:
Pelos dados fornecidos, o prazo não será de exatamente 60 meses, mas de 59,9... meses.
Se fizermos o prazo igual a 60 meses, então a prestação correta será de R$ 1.499,98 em vez de R$ 1.500,00.
Nesse caso, o valor do saldo devedor, após paga a 30ª prestação, será de R$ 32.800,07.



Abraços.
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Mensagem por jota-r Seg 19 Jun 2017, 17:03

Faxineiro do ITA escreveu:
Luiz 2017 escreveu:Uma pessoa compra um automóvel por R$ 50.000,00 financiado a uma taxa de juros de 2,175% a.m. Sabendo que sua prestação é constante e igual a R$ 1.500,00 mensais, qual será o seu saldo devedor imediatamente após pagar a 30ª prestação?

M = C + J 
M = C + Ci^t = C(1 + i)^t
M = 50000(1 + 0,02175)^30 - 1500x30
Olá, Luiz.

Pt = PMT*FVA(i, n-t)---->fórmula extraída do livo "Matemática Financeira", de José Dutra Vieira Sobrinho, em que:


Pt = saldo devedor na instante t;
FVA = fator de valor atual = [(1+i)^n-1]/[(1+i)^n*i].




Um abraço. 

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Mensagem por Luiz 2017 Seg 19 Jun 2017, 17:10

ivomilton escreveu:Boa tarde para ambos,

Uma pequena observação:
Pelos dados fornecidos, o prazo não será de exatamente 60 meses, mas de 59,9... meses.
Se fizermos o prazo igual a 60 meses, então a prestação correta será de R$ 1.499,98 em vez de R$ 1.500,00.
Nesse caso, o valor do saldo devedor, após paga a 30ª prestação, será de R$ 32.800,07.

Abraços.


Olá Ivomilton.

Às vezes o resultado exato de um cálculo poder ter um número indefinido de casas decimais. Contudo, devido suas limitações, o sistema operacional das calculadoras só considera cerca de 12 algarismos significativos, se não me falha a memória. Assim, surgem os arredondamentos.

Por isto (devido aos arredondamentos), infelizmente aparecem involuntariamente estas pequenas diferenças. Mas são tão pequenas que podem ser desprezadas sem prejuízo para os resultados.

Um abraço.


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Mensagem por ivomilton Seg 19 Jun 2017, 17:26

Luiz 2017 escreveu:
ivomilton escreveu:Boa tarde para ambos,

Uma pequena observação:
Pelos dados fornecidos, o prazo não será de exatamente 60 meses, mas de 59,9... meses.
Se fizermos o prazo igual a 60 meses, então a prestação correta será de R$ 1.499,98 em vez de R$ 1.500,00.
Nesse caso, o valor do saldo devedor, após paga a 30ª prestação, será de R$ 32.800,07.

Abraços.


Olá Ivomilton.

Às vezes o resultado exato de um cálculo poder ter um número indefinido de casas decimais. Contudo, devido suas limitações, o sistema operacional das calculadoras só considera cerca de 12 algarismos significativos, se não me falha a memória. Assim, surgem os arredondamentos.

Por isto (devido aos arredondamentos), infelizmente aparecem involuntariamente estas pequenas diferenças. Mas são tão pequenas que podem ser desprezadas sem prejuízo para os resultados.

Um abraço.

Boa tarde, Luiz.


Entendi. A calculadora deve ter arredondado o valor da prestação, e com isso os resultados variaram um pouco, ficando um pouco diferentes entre você e o jota-r.


Embora ciente dessas pequenas flutuações, estava tentando entender porque a prestação fornecida estava fazendo com que o número dos meses não estava dando inteiro.


Muito obrigado!






Um abraço.
ivomilton
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Mensagem por Luiz 2017 Seg 19 Jun 2017, 17:55

ivomilton escreveu:
Luiz 2017 escreveu:
ivomilton escreveu:Boa tarde para ambos,

Uma pequena observação:
Pelos dados fornecidos, o prazo não será de exatamente 60 meses, mas de 59,9... meses.
Se fizermos o prazo igual a 60 meses, então a prestação correta será de R$ 1.499,98 em vez de R$ 1.500,00.
Nesse caso, o valor do saldo devedor, após paga a 30ª prestação, será de R$ 32.800,07.

Abraços.


Olá Ivomilton.

Às vezes o resultado exato de um cálculo poder ter um número indefinido de casas decimais. Contudo, devido suas limitações, o sistema operacional das calculadoras só considera cerca de 12 algarismos significativos, se não me falha a memória. Assim, surgem os arredondamentos.

Por isto (devido aos arredondamentos), infelizmente aparecem involuntariamente estas pequenas diferenças. Mas são tão pequenas que podem ser desprezadas sem prejuízo para os resultados.

Um abraço.

Boa tarde, Luiz.

Entendi. A calculadora deve ter arredondado o valor da prestação, e com isso os resultados variaram um pouco, ficando um pouco diferentes entre você e o jota-r.

Embora ciente dessas pequenas flutuações, estava tentando entender porque a prestação fornecida estava fazendo com que o número dos meses não estava dando inteiro.

Muito obrigado!

Um abraço.


Ivomilton:

Numa equação como esta

n=\frac{\log \left[ PMT/(PMT-PV\cdot {i})\right] }{\log(1+i)}

é difícil, ou até impossível, conseguir um conjunto de números i, PV e PMT que dê como resultado um valor inteiro para "n".

A esse respeito o professor Clóvis de Faro, em seu livro "Princípios e Aplicações do Cálculo Financeiro", LTC, Rio, 1990, afirma categoricamente: "Formalmente, a menos de procedimentos usuais, de arredondamento, a probabilidade de solução inteira é nula".

Sds.


Última edição por Luiz 2017 em Ter 20 Jun 2017, 11:54, editado 1 vez(es)

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