Série de PA em gradiente

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Série de PA em gradiente

Mensagem por jota-r em Ter Fev 06 2018, 17:15

Olá.

Sem a utilização de quaisquer fórmulas  referentes às séries em gradientes, calcule o montante de 9 aplicações mensais, feitas 
à taxa de 2,5% a.m., realizadas no final de cada período, sabendo-se que a primeira é de $ 8.000,00 e as demais de valores 
crescentes, à razão de $ 1.000,00.

R.: $ 117.816,96


Um abraço.

jota-r
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Re: Série de PA em gradiente

Mensagem por baltuilhe em Ter Fev 06 2018, 17:56

Jota-r, boa tarde!

Isso é só pra maltratar? Very Happy

Calculando conforme solicitou:
\\M = 8\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 8 } + 9\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 7 } + 10\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 6 } + 11\,000 \cdot ~\left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 5 } + 12\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 4 } + 13\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 3 } + 14\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 2 } + 15\,000 \cdot~\left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 1 } + 16\,000\\\\M = 8\,000 \cdot 1,025 ^ 8 + 9\,000 \cdot 1,025 ^ 7 + 10\,000 \cdot 1,025 ^ 6 + 11\,000 \cdot 1,025 ^ 5 + 12\,000 \cdot~1,025 ^ 4 + 13\,000 \cdot 1,025 ^ 3 + 14\,000 \cdot 1,025 ^ 2 + 15\,000 \cdot 1,025 ^ 1 + 16\,000\\\\M \approx 9\,747,22 + 10\,698,17 + 11\,596,93 + 12\,445,49 + 13\,245,75 + 13\,999,58 +~14\,708,75 +~15\,375,00 +~16\,000,00\\\\\boxed{M \approx 117\,816,90}

Para não perder o (mal) hábito de sempre usar fórmulas:
\\FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i } \right] + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i } - n \right]\\\\FV = 8\,000 \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 9 } - 1 }{ 2,5\% } \right] + \dfrac{ 1\,000 }{ 2,5\% } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 9 } - 1 }{ 2,5\% } - 9 \right]\\\\FV = 8\,000 \cdot \left( \dfrac{ 1,025 ^ { 9 } - 1 }{ 0,025 } \right) + \dfrac{ 1\,000 }{ 0,025 } \cdot \left( \dfrac{ 1,025 ^ { 9 } - 1 }{ 0,025 } - 9 \right)\\\\FV \approx 79\,636,15 + 38\,180,75\\\\\boxed{ FV \approx 117\,816,90 }

Espero ter ajudado! Smile
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Re: Série de PA em gradiente

Mensagem por jota-r em Qua Fev 07 2018, 11:05

@baltuilhe escreveu:Jota-r, boa tarde!

Isso é só pra maltratar? Very Happy

Calculando conforme solicitou:
\\M = 8\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 8 } + 9\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 7 } + 10\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 6 } + 11\,000 \cdot ~\left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 5 } + 12\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 4 } + 13\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 3 } + 14\,000 \cdot \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 2 } + 15\,000 \cdot~\left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 1 } + 16\,000\\\\M = 8\,000 \cdot 1,025 ^ 8 + 9\,000 \cdot 1,025 ^ 7 + 10\,000 \cdot 1,025 ^ 6 + 11\,000 \cdot 1,025 ^ 5 + 12\,000 \cdot~1,025 ^ 4 + 13\,000 \cdot 1,025 ^ 3 + 14\,000 \cdot 1,025 ^ 2 + 15\,000 \cdot 1,025 ^ 1 + 16\,000\\\\M \approx 9\,747,22 + 10\,698,17 + 11\,596,93 + 12\,445,49 + 13\,245,75 + 13\,999,58 +~14\,708,75 +~15\,375,00 +~16\,000,00\\\\\boxed{M \approx 117\,816,90}

Para não perder o (mal) hábito de sempre usar fórmulas:
\\FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i } \right] + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i } - n \right]\\\\FV = 8\,000 \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 9 } - 1 }{ 2,5\% } \right] + \dfrac{ 1\,000 }{ 2,5\% } \cdot \left[ \dfrac{ \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 9 } - 1 }{ 2,5\% } - 9 \right]\\\\FV = 8\,000 \cdot \left( \dfrac{ 1,025 ^ { 9 } - 1 }{ 0,025 } \right) + \dfrac{ 1\,000 }{ 0,025 } \cdot \left( \dfrac{ 1,025 ^ { 9 } - 1 }{ 0,025 } - 9 \right)\\\\FV \approx 79\,636,15 + 38\,180,75\\\\\boxed{ FV \approx 117\,816,90 }

Espero ter ajudado! Smile
Baltuilhe, boa tarde.

Não é para maltratar, não. Desta feita o amigo ficou devendo, pois a primeira solução é de principiante, o que não é o seu caso. A segunda não vale, pois você usou fórmula de PA em gradiente. Ha uma outra solução, pelo que vejo inusitada. Vou aguardar até o 
final da tarde, dando um tempo para o Luiz responder. Se até lá não houver novidade, apresentarei a resolução de que falo.

Um abraço.

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Re: Série de PA em gradiente

Mensagem por Luiz 2017 em Qua Fev 07 2018, 13:41



jota-r, sem aplicação de fórmulas "prontas" para séries em gradiente, o que posso te dizer é que o presente exercício pode ser desmembrado em 9 séries uniformes, e resolvidas na "munheca" conforme segue.

Para séries uniformes tem-se:

FV = PMT\left[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\right]                    (1)

Se aplicada a eq. (1) separadamente a cada uma das 9 aplicações do exercício e somando os resultados, obtém-se:

\small{FV = 8000\left[\frac{(1,025)^{9}-1}{0,025}\right]+1000\left[\frac{(1,025)^{8}-1}{0,025}\right]+1000\left[\frac{(1,025)^{7}-1}{0,025}\right]+ ... +1000\left[\frac{(1,025)^1-1}{0,025}\right]}

\small{FV = \frac{8000}{0,025}\cdot\Big[1,025^9-1\Big] + \frac{1000}{0,025}\cdot\Big[1,025^8-1+1,025^7-1+ ... +1,025^2-1+1,025^1-1\Big]}

FV = \frac{8000}{0,025}\cdot\Big[1,248863-1\Big] + \frac{1000}{0,025}\cdot\Big[8,954519 - 8\Big]

FV = 79636,16 + 38180,76

\boxed{FV = \$\;117.816,92}

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Re: Série de PA em gradiente

Mensagem por baltuilhe em Qua Fev 07 2018, 14:53

Boa tarde!

A outra solução seria:
\\FV = 8\,000 \cdot s_{ \overline{ 9 } | 2,5\% } + 1\,000 \cdot s_{ \overline{ 8 } | 2,5\% } + 1\,000 \cdot s_{ \overline{ 7 } | 2,5\% } + 1\,000 \cdot s_{ \overline{ 6 } | 2,5\% } + 1\,000 \cdot s_{ \overline{ 5 } | 2,5\% } + 1\,000 \cdot s_{ \overline{ 4 } | 2,5\% } + 1\,000 \cdot s_{ \overline{ 3 } | 2,5\% } + 1\,000 \cdot s_{ \overline{ 2 } | 2,5\% } + 1\,000

Onde:
s_{ \overline{ n } | i } = \frac{ ( 1 + i ) ^ { n } - 1 }{ i }

Daí só substituir os valores:
\\FV \approx 8\,000 \cdot 9,954519 + 1\,000 \cdot 8,736116 + 1\,000 \cdot 7,547430 + 1\,000 \cdot 6,387737 + 1\,000 \cdot 5,256329 + 1\,000 \cdot 4,152516 + 1\,000 \cdot 3,075625 + 1\,000 \cdot 2,025 + 1\,000

\boxed{ FV \approx 117\,816,90}

Abraços!
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Re: Série de PA em gradiente

Mensagem por baltuilhe em Qua Fev 07 2018, 14:54

Luiz,

Fostes mais rápido do que eu... estou no serviço... faz hora que estou escrevendo.. mas só consegui mandar agora Smile

Abraços!

A ideia foi a mesma... só escrevemos diferente Wink
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Re: Série de PA em gradiente

Mensagem por jota-r em Qua Fev 07 2018, 15:24

@jota-r escreveu:Olá.

Sem a utilização de quaisquer fórmulas  referentes às séries em gradientes, calcule o montante de 9 aplicações mensais, feitas 
à taxa de 2,5% a.m., realizadas no final de cada período, sabendo-se que a primeira é de $ 8.000,00 e as demais de valores 
crescentes, à razão de $ 1.000,00.

R.: $ 117.816,96


Um abraço.
Olá.

Dados:

n = 9 meses; i = 2,5% a.m.; G = $ 1.000,00; FV1 = ?

Como, em muitos casos, as séries em gradiente podem ser decompostas em duas outras, sendo uma de termos constantes e a outra de termos em gradiente, o primeiro passo para resolver o problema é identificar essas duas séries e resolvê-las, conforme segue:

Série de termos uniformes e postecipados:

PMT = 8000 - G = 8000 - 1000 = 7000; n = 9 meses; i = 2,5% a.m.; FV1 = ?

FV1 = PMT*FAC (2,5%, 9)---->fórmula

Apropriando os dados na fórmula e resolvendo, vem:

FV1 = 7000*[(1,025^9-1)/0,025]
---->
FV1 = 7000*9,95452
---->
FV1 = 69681,64

Série em gradiente de termos postecipados:

n = 9 meses; G = 1000; p = 8000- PMT = 8000-70000 = 1000, i = 2,5%; FV2 = ?

A fórmula para solução desta série em gradiente todos nós conhecemos. Mas, como a premissa é não utilizar fórmula para cálculo desse tipo de série, precisamos encontrar uma série de termos uniformes e postecipados que seja  equivalente à fórmula em
gradiente em questão, utilizando seguinte fórmula alternativa:

FV2 = G/i*[FAC (2,5%, 9) - n] + p* FAC (2,5%, 9)

Apropriando os dados na fórmula e resolvendo, temos:

FV2 = 1000/0,025*[(1,025^9-1)/0,025 - 9]  - 1000* 9,95452
---->
FV2 = 40000*0,95452  + 9954,52
---->
FV2 = 38180,80 + 9954,52
---->
FV2 = 48135,32

O montante solicitado é a soma dos dois montantes parciais acima, qual seja:

FVt = FV1 + FV2
---->
FVt =  69681,64 +48135,32
---->
FVt = 117.816,96


Um abraço.

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Re: Série de PA em gradiente

Mensagem por baltuilhe em Qua Fev 07 2018, 16:39

Meu caro Jota-r...

Pra mim, a solução continua usando a fórmula para Gradiente, estou equivocado? Very Happy

Abraços!
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Re: Série de PA em gradiente

Mensagem por jota-r em Qua Fev 07 2018, 16:56

@baltuilhe escreveu:Meu caro Jota-r...

Pra mim, a solução continua usando a fórmula para Gradiente, estou equivocado? Very Happy

Abraços!
Baltuilhe. Acho que estás equivocado. Pois a fórmula foi criada justamente para substituir o gradiente por série uniforme!


Um abraço.


Última edição por jota-r em Qua Fev 07 2018, 18:12, editado 1 vez(es)

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Re: Série de PA em gradiente

Mensagem por Luiz 2017 em Qua Fev 07 2018, 20:17



jota-r, a resolução da série gradiente a partir de séries uniformes está aqui https://pir2.forumeiros.com/t144565-serie-de-pa-em-gradiente#509063

Sds.

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Re: Série de PA em gradiente

Mensagem por baltuilhe em Qua Fev 07 2018, 20:36

Jota-r, boa noite!

Realmente é possível encontrar o que pede! Uma série 'constante' equivalente a uma série em 'gradiente'.
A fórmula que entraria com o G e chegaria no R (prestação constante) é a seguinte:
R = \dfrac{ G }{ i } \cdot \left( 1 - \dfrac{ n }{ s_{ \overline{ n } | i } } \right)
Onde:
s_{ \overline{ n } | i } = \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i }

Para os dados do problema:
G = 1.000
i = 2,5% a.m.
n = 9
Calculando:
R = \dfrac{ 1\,000 }{ 2,5\% } \cdot \left( 1 - \dfrac{ 9 }{ \dfrac{ \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 9 } - 1 }{ 2,5\% } } \right)

Chega em R \approx 3\,835,52

Agora, somando este fluxo de caixa aos 8.000 teremos:
\\\displaystyle{ FV = \overbrace{ \left( 8\,000 + 3\,835,52 \right) } ^ { 11\,835,52 } \cdot \left( \dfrac{ 1,025 ^ 9 - 1 }{ 0,025 } \right)}\\\\\displaystyle{ \boxed{ FV \approx 117\,816,90 } }

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Re: Série de PA em gradiente

Mensagem por jota-r em Qui Fev 08 2018, 14:52

@Luiz 2017 escreveu:

jota-r, a resolução da série gradiente a partir de séries uniformes está aqui https://pir2.forumeiros.com/t144565-serie-de-pa-em-gradiente#509063

Sds.
Boa tarde, Luiz.

Fala sério, camarada. Caso a série em questão tivesse 60 ou mais termos, sua solução seria impraticável. Veja esta que segue:

Adotando a técnica praticada pelo Prof.  José  Dutra Vieira Sobrinho, vamos desmembrar a série dada em outras duas, sendo:

a) uma série de termos uniformes, contendo os seguintes dados:
 
PMT = 8000 - G = 8000 - 1000 = 7000; n = 9 meses; i = 2,5% a.m.; FV1 = ?

b) outra série de termos postecipados em gradiente, com os seguintes dados:

n = 9 meses; G = 1000; p = 8000- PMT = 8000-70000 = 1000, i = 2,5%; FV2 = ?

Resolução da série de termos uniformes:

FV1 = PMT*FAC (2,5%, 9)---->fórmula

Apropriando os dados na fórmula e resolvendo, vem:

FV1 = 7000*[(1,025^9-1)/0,025]
---->
FV1 = 7000*9,95452
---->
FV1 = 69681,64

Resolução da série de termos postecipados em gradiente:

Como a premissa é não utilizar fórmula usada para cálculos referentes a série em gradiente, precisamos encontrar uma série de termos uniformes e postecipados que seja  equivalente à série em gradiente em questão. Para tanto, utilizamos uma equação que nos
ajudará a calcular o valor da prestação (PMT) da série de termos uniformes, qual seja: 

R*FAC (i, n) = G/i*[(FAC (i,n) - n] 

Apropriando os dados na fórmula e resolvendo, temos:

R*FAC (2,5%, 9) = 1000/2,5%*[(FAC (2,5%, 9) - 9]
---->
R*(1,025^9 - 1)/0,025 = 40000*[(1,025^9-1)/0,025 - 9] 
---->
R*9,95452 = 40000*[9,95452 - 9] 
---->
R*9,95452 = 40000*0,95452 
---->
R*9,95452 = 38180,80000 
---->
R*9,95452 = 38180,80000
---->
R = 38180,80000/9,95452
---->
R = 3835,52

O valor da prestação da série de termos uniformes será dado pela soma de R + p, ou seja:

PMT = 3835,52 + 1000
---->
PMT = 4835,52

Apropriando o valor de PMT e os demais dados na fórmula do montante das séries uniformes postecipadas, vem:

FV2 = PMT*FAC
---->
FV2 =  4835,52*(1,025^9-1)/0,025
---->
FV2 =  4835,52*9,95452
---->
FV2 = 48135,28

O montante pedido no enunciado é a soma dos dois montantes parciais acima, qual seja:

FVt = FV1 + FV2
---->
FVt =   69681,64 + 48135,28
---->
FVt = 117.816,92---->resposta


Um abraço.

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Re: Série de PA em gradiente

Mensagem por Luiz 2017 em Qui Fev 08 2018, 15:41

@jota-r escreveu:
Caso a série em questão tivesse 60 ou mais termos, sua solução seria impraticável.


É óbvio ululante que seria impraticável. Só que a série em questão não tem 60 ou mais termos. Tem apenas 9. Foi você quem formulou o exercício com 9 termos, não eu. Por isto apresentei esta solução. E mais, você pede na formulação do exercício para não usar fórmula. Mas na sua solução você usa. Portanto estou aguardando sua solução "sem fórmula".

Sds.

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Re: Série de PA em gradiente

Mensagem por jota-r em Qui Fev 08 2018, 18:04

@Luiz 2017 escreveu:
@jota-r escreveu:
Caso a série em questão tivesse 60 ou mais termos, sua solução seria impraticável.


É óbvio ululante que seria impraticável. Só que a série em questão não tem 60 ou mais termos. Tem apenas 9. Foi você quem formulou o exercício com 9 termos, não eu. Por isto apresentei esta solução. E mais, você pede na formulação do exercício para não usar fórmula. Mas na sua solução você usa. Portanto estou aguardando sua solução "sem fórmula".

Sds.
Peço para não usar fórmula habitualmente aplicada em cálculos de séries em gradiente. Vejo que o amigo não leu esta minha 
última resolução. Quanto à primeira, o Baltuilhe alegou que a fórmula que usei é de gradiente. Se é mesmo, estou de parabéns por
ter descoberto uma nova fórmula, já que é a 1ª vez que a utilizei e nunca a vi sendo utilizada por você nem pelo Baltuilhe.

Obs.: Leia atentamente esta minha última resolução, que é diferente da primeira.

Um abraço.

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Re: Série de PA em gradiente

Mensagem por jota-r em Seg Fev 12 2018, 15:53

@baltuilhe escreveu:Jota-r, boa noite!

Realmente é possível encontrar o que pede! Uma série 'constante' equivalente a uma série em 'gradiente'.
A fórmula que entraria com o G e chegaria no R (prestação constante) é a seguinte:
R = \dfrac{ G }{ i } \cdot \left( 1 - \dfrac{ n }{ s_{ \overline{ n } | i } } \right)
Onde:
s_{ \overline{ n } | i } = \dfrac{ \left( 1 + i \right) ^ { n } - 1 }{ i }

Para os dados do problema:
G = 1.000
i = 2,5% a.m.
n = 9
Calculando:
R = \dfrac{ 1\,000 }{ 2,5\% } \cdot \left( 1 - \dfrac{ 9 }{ \dfrac{ \left( 1 + 2,5\% \right) ^ { 9 } - 1 }{ 2,5\% } } \right)

Chega em R \approx 3\,835,52

Agora, somando este fluxo de caixa aos 8.000 teremos:
\\\displaystyle{ FV = \overbrace{ \left( 8\,000 + 3\,835,52 \right) } ^ { 11\,835,52 } \cdot \left( \dfrac{ 1,025 ^ 9 - 1 }{ 0,025 } \right)}\\\\\displaystyle{ \boxed{ FV \approx 117\,816,90 } }

Sds
Olá, Baltuilhe.

Já tinha descoberto esse tipo de solução. Só que a fórmula de conversão que usei foi esta:

R = G/i*[1 - n*[i/(1+i)^n - 1]
---->
R = 1000/0,025*[1 - 9*[0,025/1,025^9 - 1]
---->
R = 40000*[1 - 9*0,100457]
---->
R = 40000*0,095887
---->
R = 3.835,48

A sequência é idêntica à da sua solução:

PMT = (3.835,48 + 8000) = 11835,48
---->
FV = 11835,48*(1,025^9-1)/0,025
---->
FV  = 11835,48*9,954519
---->
FV = 117816,51

Agora amigo, me clareia uma coisa: qual é a lógica de termos que somar o valor de p (8.000) para chegarmos ao valor de PMT?


Um abraço.

jota-r
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