Montante de uma série gradiente decrescente

Certa pessoa resolve fazer 17 aplicações mensais, à taxa de 3,5% a.m. Sabendo-se que o valor da 1ª parcela será de $ 6.000,00 e
que as seguintes decrescerão a uma razão constante de $ 200,00, calcular o montante no final do 17º mês.

R: 103.630,01

netuno escreveu:Certa pessoa resolve fazer 17 aplicações mensais, à taxa de 3,5% a.m. Sabendo-se que o valor da 1ª parcela será de $ 6.000,00 e
que as seguintes decrescerão a uma razão constante de $ 200,00, calcular o montante no final do 17º mês.

R: 103.630,01

Olá.

Nos casos em que a razão da PA coincide com o valor da última prestação ou pagamento, o problema tem solução imediata (mediante simples aplicação da fórmula), pois se resume a uma série em gradiente decrescente. No entanto, isto raramente ocorre na prática, sendo mais frequente os problemas compostos por séries de pagamento cujos termos são resultantes  da soma de
uma série uniforme e outra em gradiente. Nesse último caso, para a solução do problema, devemos adotar o seguinte procedi-
mento:

1º) decompor a série dada nas duas séries que a compõem (uma uniforme e outa em gradiente);

2º) resolver a série uniforme, mediante aplicação da fórmula: FV1 = R*[(1+i))^n -1]/i;

3º) resolver a série em gradiente, mediante aplicação da  fórmula: FV2 = G/i*{n*(1+i)^n - [(1+i)^n-1]/i};

4º) somar as duas séries, obtendo, desta forma, a solução do exercício.


Neste exercício, o enunciado diz que o valor da 1ª parcela da série dada é de 6.000 e que as demais decrescerão a uma razão constante de 200.

Por outro lado, nas séries em PA decrescente, vale a relação: 1º termo = R + n*G, sendo R o valor dos termos da série
uniforme e G a razão da série em gradiente. Assim, se substituirmos os dados do exercício nesta fórmula,teremos:

6000 = R + 17*200---->R = 6000 - 17*200 ---->R = 6000 - 3400 = 2600

Portanto, os dados do problema são os seguintes:

R = 2600
G = 200
n = 17 meses
i = 0,035 a.m.
FV1 = ?
FV2 = ?

Substituindo os dados da série uniforme na fórmula FV1 = R*[(1+i)^n-1]/i vem:

FV1 = 2600*[1,035^17 - 1]/0,035
---->
FV1 = 2600*0,79468/0,035
---->
FV1 = 59033,37

Substituindo os dados da série em gradiente na fórmula FV2 = G/i*{n*(1+i)^n - [(1+i)^n-1]/i}, temos:
---->
FV2 = 200/0,035*{17*1,035^17 - [1,035^17-1]/0,035}
---->
FV2 = 5714,285714*{30,50948 - [0,7946*]/0,035}
---->
FV2 = 5714,285714*{30,50948 - 22,70502}
---->
FV2 = 5714,285714*7,80446
---->
FV2 = 44596,91


Somando as duas séries, temos:

FV = FV1 + FV2 = 59033,37 + 44596,91 = 103.630,28---->resposta


Um abraço.