Série gradiente

por Luiz 2017 Dom 04 Fev 2018, 13:43

Balduilhe, já que o fórum está numa fase de demonstração de fórmulas, eu ficaria muito grato se você mostrasse, passo a passo, como deduziu a fórmula a seguir para série gradiente crescente postecipada (sendo PMT=último termo), que você usou aqui: https://pir2.forumeiros.com/t143590-calcular-deposito-inicial-e-gradiente#508090

PV = PMT\cdot\left[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right]+\frac{G}{i}\cdot \left[n-\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right]-G\cdot\left[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right]

Achei-a interessante e pretendo usá-la doravante.

Grato.

por **Baltuilhe** Dom 04 Fev 2018, 20:23

Boa tarde!

Imaginemos uma série de depósitos começados por n.G até G, do período 1 ao período n
Vamos 'atualizar' todos esses depósitos para a data zero:
PV = \dfrac{ n \cdot G }{ \left( 1 + i \right) } + \dfrac{ \left( n - 1 \right) \cdot G }{ \left( 1 + i \right) ^ { 2 } } + \dfrac{ \left( n - 2 \right) \cdot G }{ \left( 1 + i \right) ^ { 3 } } + \ldots + \dfrac{ 2 \cdot G }{ \left( 1 + i \right) ^ { n - 1 } } + \dfrac{ G }{ \left( 1 + i \right) ^ { n } } (I)

Multiplicando a expressão anterior por (1+i):
PV \cdot \left( 1 + i \right) = n \cdot G + \dfrac{ \left( n - 1 \right) \cdot G }{ \left( 1 + i \right) } + \dfrac{ \left( n - 2 \right) \cdot G }{ \left( 1 + i \right) ^ { 2 } } + \ldots + \dfrac{ 2 \cdot G }{ \left( 1 + i \right) ^ { n - 2 } } + \dfrac{ G }{ \left( 1 + i \right) ^ { n - 1 } } (II)

Subtraindo (I) de (II) ficamos:
i \cdot PV = n \cdot G - \dfrac{ G }{ \left( 1 + i \right) } - \dfrac{ G }{ \left( 1 + i \right) ^ { 2 } } - \dfrac{ G }{ \left( 1 + i \right) ^ { 3 } } - \ldots - \dfrac{ G }{ \left( 1 + i \right) ^ { n - 1 } } - \dfrac{ G }{ \left( 1 + i \right) ^ { n } }

Agora, temos:
i \cdot PV = G \cdot \left\{ n - \left[ \dfrac{ 1 }{ \left( 1 + i \right) } + \dfrac{ 1 }{ \left( 1 + i \right) ^ { 2 } } + \dfrac{ 1 }{ \left( 1 + i \right) ^ { 3 } } + \ldots + \dfrac{ 1 }{ \left( 1 + i \right) ^ { n - 1 } } + \dfrac{ 1 }{ \left( 1 + i \right) ^ { n } } \right] \right\}

Terminando os algebrismos ficamos, finalmente, com:
PV = \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ n - \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \right]

Essa última fórmula resolve a progressão geométrica DECRESCENTE quando o primeiro termo é n.G e o último é G. Para termos uma série onde temos o primeiro termo PMT + (n-1).G e o último PMT, somente, temos que subtrair uma série constante igual a G e somar outra série constante igual a PMT. Daí:
PV = \left( PMT - G \right) \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \right] + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ n - \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \right]

Arrumando o termo inicial podemos deixar a fórmula:
PV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \right] + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ n - \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \right] - G \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \right]

Que foi a fórmula que pediu que deduzisse.

Sds.

c.b.d.

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