Área entre os círculos

por PlodX Sex 03 Jun 2011, 20:53

Na figura abiaxo, r é o raio do círculo maior e t é o comprimento da tangente AB comum aos dois círculos menores.Então, a área assinalada(a área em cinza) compreendida entre o círculo maior e os dois menores é:
Área entre os círculos Ddddi

a)pi r^2/8
b)pi rt/8
c)pi t^2/8
d)pi(t-r)^2/8
e)Nada disso

Spoiler:

por **Elcioschin** Sáb 04 Jun 2011, 18:27

Sejam:

x = raio do círculo médio
y = raio do círculo menor
P = ponto de contato dos círculos médioe menor
O = centro do círculo maior
O' - centro do círculo médio
CD = reta que passa pelos 3 centros

OA = OB = OC = OD = r

OO' = OD - O'D ----> OO' = r - x

OP + OO' = O'P ----> OP + (r - x) = x ----> OP = 2x - r

AP = AB/2 ---> AP = t/2

CP + OP = r ----> 2y + (2x - r) = r ----> x + y = r

No triângulo retângulo OPA ----> OP² + AP² = OA² ----> (2x - r)² + (t/2)² = r²

Continue e calcule x = f(r, t) e depois y = f(r, t)

S = pir² - pix² - piy²

por **Claudir** Sáb 19 Mar 2016, 19:19

Potência de ponto:

\frac{t}{2}.\frac{t}{2}=2x.2y\rightarrow xy=\frac{t^{2}}{16}\ (I)

Área sombreada (S):

S=\pi r^{2}-\pi (x^{2}+y^{2})\ (II)

Mas x+y=r\rightarrow (x+y)^2=r^2=x^2+y^2+2xy\ (III)

(I)\ em\ (III):\ x^2+y^2=r^2-2.\frac{t^2}{16}=r^2-\frac{t^2}{8}\ (IV)

(IV)\ em\ (II):\ S=\pi r^2-\pi\left(r^2+\frac{t^2}{8}\right)=\frac{\pi t^2 }{8}

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