Calcule o valor de cada prestação antecipada.

por Luiz 2017 Qua 17 Jan 2018, 12:18

Uma pessoa obteve um empréstimo de $ 1 milhão para paga em 10 prestações bimestrais iguais postecipadas, sendo a taxa de juros 9% a.b. Depois de pagar a 4ª prestação, a fim de abreviar o prazo de pagamento, propôs à instituição credora pagar a 8ª prestação juntamente com a 5ª, a 9ª com a 6ª e a 10ª com a 7ª. Calcule o valor de cada prestação antecipada.

por **Baltuilhe** Qua 17 Jan 2018, 17:42

Boa tarde!

Vamos à resolução!

1) Calculando as 10 bimestralidades:
Matemagicamente:
\\\displaystyle{PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]}\\\\\displaystyle{1\,000\,000=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+9\%\right)^{-10}}{9\%}\right]}\\\\\displaystyle{1\,000\,000=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,09^{-10}}{0,09}\right)}\\\\\displaystyle{PMT=\dfrac{1\,000\,000\cdot 0,09}{1-1,09^{-10}}}\\\\\displaystyle{\boxed{PMT\approx 155\,820,09}}

HP-12C:
\\\boxed{f}\boxed{FIN}\\\overbrace{1\boxed{CHS}\boxed{EEX}6}^{-1\,000\,000}\boxed{PV}\\10\boxed{n}\\9\boxed{i}\\\boxed{PMT}\Rightarrow\boxed{\boxed{155\,820,09}}

2) Como iremos 'adiantar' algumas parcelas, e todas elas serão 'adiantadas' do mesmo período (8-5=9-6=10-7), ou seja, 3 bimestres, podemos calcular o valor da antecipação de uma delas descapitalizando pelo período de 3 bimestres.
Matemagicamente:
\\\displaystyle{PMT_k=\dfrac{155\,820,09}{(1+9\%)^3}}\\\\\displaystyle{PMT_k=\dfrac{155\,820,09}{1,09^3}}\\\\\displaystyle{\boxed{PMT_k\approx 120\,321,70}}

HP-12C:
\\\boxed{RCL}\boxed{PMT}\boxed{\text{ENTER}}\\1,09\boxed{\text{ENTER}}\\3\boxed{y^x}\boxed{\div}\Rightarrow\boxed{\boxed{120\,321,70}}

Espero ter ajudado!

Texto Original, antes da edição escreveu:Boa tarde!

Vamos à resolução!

1) Calculando as 10 bimestralidades:
Matemagicamente:
\\\displaystyle{PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]}\\\\\displaystyle{1\,000\,000=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+9\%\right)^{-10}}{9\%}\right]}\\\\\displaystyle{1\,000\,000=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,09^{-10}}{0,09}\right)}\\\\\displaystyle{PMT=\dfrac{1\,000\,000\cdot 0,09}{1-1,09^{-10}}}\\\\\displaystyle{\boxed{PMT\approx 155\,820,09}}

HP-12C:
\\\boxed{f}\boxed{FIN}\\\overbrace{1\boxed{CHS}\boxed{EEX}6}^{-1\,000\,000}\boxed{PV}\\10\boxed{n}\\9\boxed{i}\\\boxed{PMT}\Rightarrow\boxed{\boxed{155\,820,09}}

2) Como iremos 'adiantar' algumas parcelas, e todas elas serão 'adiantadas' do mesmo período (8-5=9-6=10-7), ou seja, 3 bimestres, podemos calcular quanto seria a antecipação de uma delas, somente, e somar ao valor da bimestralidade pois assim já teremos obtido o valor a ser pago em cada uma delas.
Sendo o valor de k=5, 6 ou 7, teremos:
Matemagicamente:
\\\displaystyle{PMT_k=155\,820,09+\dfrac{155\,820,09}{(1+9\%)^3}}\\\\\displaystyle{PMT_k=155\,820,09+\dfrac{155\,820,09}{1,09^3}}\\\\\displaystyle{PMT_k\approx 155\,820,09+120\,321,70}\\\\\displaystyle{\boxed{PMT_k\approx 276\,141,79}}

HP-12C:
\\\boxed{RCL}\boxed{PMT}\boxed{\text{ENTER}}\\1,09\boxed{\text{ENTER}}\\3\boxed{y^x}\boxed{\div}\Rightarrow\boxed{\boxed{276\,141,79}}

Espero ter ajudado!

por Luiz 2017 Qua 17 Jan 2018, 18:05

Não bate.

por **Baltuilhe** Qua 17 Jan 2018, 19:43

Boa tarde, Luiz!

Refiz por outro processo de maneira a termos outra forma de se resolver o mesmo problema.

Outro processo:
2) Após obtido o valor das prestações calculo o saldo devedor no 4º período para verificar o valor da dívida:
\\\displaystyle{SD_k=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-(n-k)}}{i}\right]}\\\\\displaystyle{SD_4=155\,820,09\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+9\%\right)^{-(10-4)}}{9\%}\right]}\\\\\displaystyle{SD_4=155\,820,09\cdot\left(\dfrac{1-1,09^{-6}}{0,09}\right)}\\\\\displaystyle{\boxed{SD_4\approx 698\,996,24}}

3) Como as prestações 5, 6 e 7 irão receber a 8, 9 e 10, iremos encurtar em 3 novas prestações, a serem pagas. Calculando, então:
\\\displaystyle{SD_4=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]}\\\\\displaystyle{698\,996,24=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+9\%\right)^{-3}}{9\%}\right]}\\\\\displaystyle{698\,996,24=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,09^{-3}}{0,09}\right)}\\\\\displaystyle{PMT=\dfrac{698\,996,24\cdot 0,09}{1-1,09^{-3}}}\\\\\displaystyle{\boxed{PMT\approx 276\,141,79}}

4) Neste valor já estavam embutidas as prestações originais de 155.820,09, então, subtraindo-se este valor do anterior:
276.141,79 - 155.820,09 = 120.321,70

Um grande abraço!

Texto Original, antes da correção! escreveu:Boa tarde, Luiz!

Qual o gabarito?

Refiz por outro processo e bateu com a resposta que encontrei. Onde me equivoquei?

Outro processo:
2) Após obtido o valor das prestações calculo o saldo devedor no 4º período para verificar o valor da dívida:
\\\displaystyle{SD_k=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-(n-k)}}{i}\right]}\\\\\displaystyle{SD_4=155\,820,09\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+9\%\right)^{-(10-4)}}{9\%}\right]}\\\\\displaystyle{SD_4=155\,820,09\cdot\left(\dfrac{1-1,09^{-6}}{0,09}\right)}\\\\\displaystyle{\boxed{SD_4\approx 698\,996,24}}

3) Como as prestações 5, 6 e 7 irão receber a 8, 9 e 10, iremos encurtar em 3 novas prestações, a serem pagas. Calculando, então:
\\\displaystyle{SD_4=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]}\\\\\displaystyle{698\,996,24=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+9\%\right)^{-3}}{9\%}\right]}\\\\\displaystyle{698\,996,24=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,09^{-3}}{0,09}\right)}\\\\\displaystyle{PMT=\dfrac{698\,996,24\cdot 0,09}{1-1,09^{-3}}}\\\\\displaystyle{\boxed{PMT\approx 276\,141,79}}

Se errei, realmente gostaria de saber onde foi para corrigir e deixar a resposta correta!

Um grande abraço!

por Luiz 2017 Qua 17 Jan 2018, 21:19

Solução:

1) Primeiro, o cálculo do valor PMT_1 das 10 prestações sem as antecipações:

Valor presente de série uniforme postecipada

PV = PMT \cdot \frac {1-(1+i)^{-n}}{i}

onde:

PV = 1000000
n = 10
i = 9%
PMT = PMT₁ = ?

Substituindo valores:

1000000 = PMT_1 \cdot \frac {1-(1+0,09)^{-10}}{0,09}

1000000 = PMT_1 \cdot \frac {0,57758919}{0,09}

PMT_1 = 155.820,09

2) Segundo, o cálculo do valor PMT_2 das prestações antecipadas, que retroagem 3 períodos:

PV = FV \cdot (1+i)^{-n}

onde:

n = 3 bimestres
i = 9% a.b.
FV = PMT₁ = 155.820,09
PV = PMT₂ = ?

Substituindo valores:

PMT_2 = PMT_1 \cdot (1+i)^{-n}

PMT_2 = 155820,09 \cdot (1+0,09)^{-3}

PMT_2 = 155820,09 \times 0,77218348

PMT_2 = 120321,6994

\boxed{PMT_2 \approx \$\;120.321,70 }

por Luiz 2017 Qua 17 Jan 2018, 21:24

baltuilhe escreveu:Boa tarde!

Vamos à resolução!

1) Calculando as 10 bimestralidades:
Matemagicamente:
\\\displaystyle{PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]}\\\\\displaystyle{1\,000\,000=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+9\%\right)^{-10}}{9\%}\right]}\\\\\displaystyle{1\,000\,000=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,09^{-10}}{0,09}\right)}\\\\\displaystyle{PMT=\dfrac{1\,000\,000\cdot 0,09}{1-1,09^{-10}}}\\\\\displaystyle{\boxed{PMT\approx 155\,820,09}}

HP-12C:
\\\boxed{f}\boxed{FIN}\\\overbrace{1\boxed{CHS}\boxed{EEX}6}^{-1\,000\,000}\boxed{PV}\\10\boxed{n}\\9\boxed{i}\\\boxed{PMT}\Rightarrow\boxed{\boxed{155\,820,09}}

2) Como iremos 'adiantar' algumas parcelas, e todas elas serão 'adiantadas' do mesmo período (8-5=9-6=10-7), ou seja, 3 bimestres, podemos calcular quanto seria a antecipação de uma delas, somente, e somar ao valor da bimestralidade pois assim já teremos obtido o valor a ser pago em cada uma delas.
Sendo o valor de k=5, 6 ou 7, teremos:
Matemagicamente:
\\\displaystyle{PMT_k=155\,820,09+\dfrac{155\,820,09}{(1+9\%)^3}}\\\\\displaystyle{PMT_k=155\,820,09+\dfrac{155\,820,09}{1,09^3}}\\\\\displaystyle{PMT_k\approx 155\,820,09+120\,321,70}\\\\\displaystyle{\boxed{PMT_k\approx 276\,141,79}}

HP-12C:
\\\boxed{RCL}\boxed{PMT}\boxed{\text{ENTER}}\\1,09\boxed{\text{ENTER}}\\3\boxed{y^x}\boxed{\div}\Rightarrow\boxed{\boxed{276\,141,79}}

Espero ter ajudado!

Como pode a prestação antecipada ser maior que a não antecipada???

Sds.

por **Baltuilhe** Qua 17 Jan 2018, 21:27

Meu caro Luiz! Que mancada!

Realmente eu calculei certo... mas somei errado! Very Happy

Ele não quer saber quanto iria pagar nos meses 5, 6 e 7, mas, sim, qual o valor da antecipação das prestações futuras. Que somei com o valor que teria que pagar

Pequeno equívoco na interpretação do enunciado!

Obrigado pela correção Wink

Abraços! (vou corrigir também Smile

)

por Luiz 2017 Qua 17 Jan 2018, 21:39

baltuilhe escreveu:Meu caro Luiz! Que mancada!

Realmente eu calculei certo... mas somei errado!

Ele não quer saber quanto iria pagar nos meses 5, 6 e 7, mas, sim, qual o valor da antecipação das prestações futuras. Que somei com o valor que teria que pagar

Pequeno equívoco na interpretação do enunciado!

Obrigado pela correção Abraços! (vou corrigir também )

Seu cálculo da 2ª parte se desvirtuou por caminho estranho.

Sds.