Algebra
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Algebra
por FlavioMachado Seg 01 Jan 2018, 15:27
Se a^3 + b^3 + c^3=0, e (a-b)² + (a-c)² + (b-c)²=36, determine: 1/ab + 1/bc + 1/ac.
a)-1/2
b)-1/3
c)1/6
d)-1/6
e)1/5
a)-1/2
b)-1/3
c)1/6
d)-1/6
e)1/5
FlavioMachado- Jedi
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Re: Algebra
por Skyandee Seg 01 Jan 2018, 19:54
Uh... vamos lá...
Primeiro temos que ter em mente que:
\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} =\frac{(a+b+c)}{abc}
Vamos agora desenvolver a equação fornecida no enunciado:
\\(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=36 \Leftrightarrow 2a^2+b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=36 \Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=18\, (*)
Porém, podemos usar a seguinte relação (Creio que não deve ser difícil encontrar a dedução dela na internet... Estou colocando direto porque demoraria um pouco para deduzir e também porque ela é razoavelmente conhecida...) (✯)
\boxed{a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}
Assim, se multiplicarmos (*) por (a+b+c), temos:
\\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=18 \Leftrightarrow \\\\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)(a+b+c)=18(a+b+c) \Leftrightarrow \\\\\underset{0}{\underbrace{a^3+b^3+c^3}}-3abc=18(a+b+c) \Leftrightarrow \\\\-3abc=18(a+b+c) \Leftrightarrow \boxed{abc=-6(a+b+c)}
Logo:
\\\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} =\frac{(a+b+c)}{abc}=\frac{(a+b+c)}{-6(a+b+c)} \Leftrightarrow \\\\\\ \Leftrightarrow \boxed{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=-\frac{1}{6}}
✯ Edit - Uh, decidi colocar a dedução assim mesmo, fica mais como uma curiosidade...
Primeiro temos que ter em mente que:
Vamos agora desenvolver a equação fornecida no enunciado:
Porém, podemos usar a seguinte relação (Creio que não deve ser difícil encontrar a dedução dela na internet... Estou colocando direto porque demoraria um pouco para deduzir e também porque ela é razoavelmente conhecida...) (✯)
Assim, se multiplicarmos (*) por (a+b+c), temos:
Logo:
✯ Edit - Uh, decidi colocar a dedução assim mesmo, fica mais como uma curiosidade...
- Dedução:
Antes de mais nada, temos que(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3
e que(a+b)^3=a^3+\underset{3ab(a+b)}{\underbrace{3a^2b+3ab^2}}+b^3 \Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)=a^3+b^3
Assim, temos:\\a^3+b^3+c^3-3abc=\\\\(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=\\\\\underset{Soma\; de\; 2\; cubos}{\underbrace{(a+b)^3+c^3}}-3ab(a+b+c)=\\\\\left [(a+b)+c \right ].[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=\\\\(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)=\\\\\boxed{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}
Skyandee- Recebeu o sabre de luz
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