Equação de Segundo Grau e Módulo

por Oziel Qui 21 Dez 2017, 12:48

Quaisquer que sejam os números reais a, b e c pode-se afirmar que a equação ax^2 + b|x| + c = 0 :

a) Tem, no máximo, duas raízes reais distintas.

b) Tem, no máximo, quatro raízes reais distintas.

c) Tem pelo menos uma raiz real.

d) Não possui raízes reais.

e)n.r.a.

Fiz assim :

a|x^2| + b|x| + c = 0, suponho |x| = y .

Por soma e produto : y^2 + y = -b/a ou y^2 * y = c/a.

y = -b/a ou y = -(b+a)/a (Não entra, pois, |x| >= 0)

$Equação de Segundo Grau e Módulo Gif$
$Equação de Segundo Grau e Módulo Gif$
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Minha resposta deu a).

Obs: Não tenho o gabarito.

por **Matheus Tsilva** Qui 21 Dez 2017, 13:01

A minha ,b)

por Oziel Qui 21 Dez 2017, 14:08

Matheus Tsilva escreveu:A minha ,b)

Então por favor, coloque a resolução kkk

por **petras** Qui 21 Dez 2017, 14:16

Essa questão foi adaptada da Fuvest pois a alternativa e original seria "e) tem sempre raízes distintas" o que tornou a questão anulada pois todas seriam falsas. Dessa forma adaptada que foi postada o gabarito será a letra e.

Como a, b e c podem assumir qualquer valor poderemos ter;

Se a=b=c=0, → 0x²+0|x|+0=0→ 0x²+0|x|+0=0→ infinitas raízes, já eliminamos a) e b)

c) Se a=1, b=0 e c=1, teríamos x²+1=0 → não tem raízes reais.

d) Se a=1, b =0 e c =-4 → x²−4=0→x=2 ou x=−2 → 2 raízes reais

por Oziel Qui 21 Dez 2017, 14:22

petras escreveu:Essa questão foi adaptada da Fuvest pois a alternativa e original seria "e) tem sempre raízes distintas" o que tornou a questão anulada pois todas seriam falsas. Dessa forma adaptada que foi postada o gabarito será a letra e.

Como a, b e c podem assumir qualquer valores poderemos ter;

Se a=b=c=0, → 0x²+0|x|+0=0→ 0x²+0|x|+0=0→ infinitas raízes, já eliminamos a) e b)

c) Se a=1, b=0 e c=1, teríamos x²+1=0 → não tem raízes reais.

d) Se a=1, b =0 e c =-4 → x²−4=0→x=2 ou x=−2 → 2 raízes reais

Então a correta seria nenhuma das anteriores ?!

por **Matheus Tsilva** Qui 21 Dez 2017, 14:26

Nem pensei no caso de ser tudo 0.
Obrigado petras.

por biologiaéchato Qui 21 Dez 2017, 17:03

Funções como essas são pares(ou melhor dizendo, simétricas), isto é, f(x)=f(-x)

x²=Sempre positivo
|x|=Sempre positivo

Uma equação de 2 grau pode ter 0,1 ou 2 raízes distintas, multiplicando por 2[visto que o gráfico é simétrico, teremos soluções para f(S) e f(-S)].
0*2=0
1*2=2
2*2=4

Para esse tipo de função, pode se ter 0,2 ou 4 soluções reais.

por **petras** Qui 21 Dez 2017, 17:52

Podemos ter 3 raízes distintas. Se a=1, b=-2 e c=0, temos x²-2|x|=0, que tem as raízes x=0, x=-2 e x=2

por biologiaéchato Qui 21 Dez 2017, 20:33

Exato Petras, me esqueci desse detalhe, obrigado por lembrar.

Quando c=0, necessariamente {0}∈{S}.
A função é par, f(x)=f(-x).
Então, substituímos 0 para ver o que acontece...
f(0)=f(-0)
f(0)=f(0)---->0 não pode ter sinal, pois é nulo.

Dessa forma, 0 é o único número real que não estabelece essa condição de simetria(ou melhor, até estabelece, porém resulta no mesmo número), isto porquê ele é o referencial para a simetria do gráfico.

Re-estudando o quê foi desenvolvido no último tópico:

Soluções possíveis para a equação:
S={Ø}
S={0}
S={0,x}
S={x,y}
S={x}

Para a simetria, multiplicamos por 2, exceto o 0 que continua igual:
S={Ø}-->0*2=0 raízes
S={0}--->1 raiz
S={0,x}--->(1*2)+1=3 raízes
S={x,y}--->2*2=4 raízes
S={x}---->2*1=2 raízes

Mais uma vez, obrigado pelo lembrete, Petras.
Grande abraço e feliz Natal!