Números Complexos

Sendo z + z^-1 =2cos(a),demonstre z^n + z^-n=2cos(na).

z + z^-1 = 2.cosa + i.sen0

(z + z^-1)ⁿ = (2.cosa + i.sen0)ⁿ

zⁿ + z^-n = 2.cos(n.a) + i.sen(n.0)

zⁿ + z^-n = 2.cos(n.a) + i.sen0

zⁿ + z^-n = 2.cos(n.a)

Na operação (z + z^-1)^n eu não teria o desenvolvimento normal de um binômio ,da seguinte forma:z^n+n (z^n-1*Z).... e no outro lado do sinal de igualdade 2^n?? Não entendi porque você "pulou" de (Z+Z^-1)^N para z^+z^-n.

O enunciado não pede o desenvolvimento do binômio; ele pede o valor do binômio.

Não dá para calcular (ou seria muito trabalhoso) o valor desenvolvendo o binômio. A opção então é desenvolver o 2º membro da equação.

Para isto o método mais simples e rápido é transformar o 2º membro num número complexo na fórmula trigonométrica, como eu fiz. Eu usei 0 para o ângulo do coeficiente do i porque sen0 = 0. Mas eu poderia fazer este ângulo igual a k.pi pois sen(k.pi) = 0:

z + z^-1 = 2.cosa + i.sen(k.pi)

(z + z^-1)ⁿ = [2.cosa + i.sen(k.pi)]ⁿ

zⁿ + z^-n = 2.cos(n.a) + i.sen(n.k.pi) ---> n.k = m é inteiro ---> sen(m.pi) = 0 

zⁿ + z^-n = 2.cos(n.a) + i.0

zⁿ + z^-n = 2.cos(n.a)

Entendi,obrigado!