Números Complexos

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Números Complexos

Mensagem por nerdcurioso01 em Seg Dez 04 2017, 18:42

Sendo z + z^-1 =2cos(a),demonstre z^n + z^-n=2cos(na).

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Re: Números Complexos

Mensagem por Elcioschin em Seg Dez 04 2017, 19:19

z + z-1 = 2.cosa + i.sen0

(z + z-1)n = (2.cosa + i.sen0)n

zn + z-n = 2.cos(n.a) + i.sen(n.0)

zn + z-n = 2.cos(n.a) + i.sen0

zn + z-n = 2.cos(n.a)
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Re: Números Complexos

Mensagem por nerdcurioso01 em Seg Dez 04 2017, 20:53

Na operação (z + z^-1)^n eu não teria o desenvolvimento normal de um binômio ,da seguinte forma:z^n+n (z^n-1*Z).... e no outro lado do sinal de igualdade 2^n?? Não entendi porque você "pulou" de (Z+Z^-1)^N para z^+z^-n.

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Re: Números Complexos

Mensagem por Elcioschin em Ter Dez 05 2017, 10:25

O enunciado não pede o desenvolvimento do binômio; ele pede o valor do binômio.

Não dá para calcular (ou seria muito trabalhoso) o valor desenvolvendo o binômio. A opção então é desenvolver o 2º membro da equação.

Para isto o método mais simples e rápido é transformar o 2º membro num número complexo na fórmula trigonométrica, como eu fiz. Eu usei 0 para o ângulo do coeficiente do i porque sen0 = 0. Mas eu poderia fazer este ângulo igual a k.pi pois sen(k.pi) = 0:

z + z-1 = 2.cosa + i.sen(k.pi)

(z + z-1)n = [2.cosa + i.sen(k.pi)]n

zn + z-n = 2.cos(n.a) + i.sen(n.k.pi) ---> n.k = m é inteiro ---> sen(m.pi) = 0 

zn + z-n = 2.cos(n.a) + i.0

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Re: Números Complexos

Mensagem por nerdcurioso01 em Ter Dez 05 2017, 12:20

Entendi,obrigado!

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