Polinômios - Raízes de mesmo Módulo

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Polinômios - Raízes de mesmo Módulo

Mensagem por Victor Luz em Ter Nov 28 2017, 10:59

Determine as raízes da equação 5x³-2x²-4x+40=0, sabendo que elas têm o mesmo módulo.

Gabarito:-2, 6+8i/5 e 6-8i/5

Senhores, eu só consegui montar a resolução por testes de raízes e usando briot ruffini, mas gostaria de fazer por relações de girard, alguem poderia fazer por favor?
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Re: Polinômios - Raízes de mesmo Módulo

Mensagem por CaiqueF em Ter Dez 05 2017, 09:59

Se é do terceiro grau, temos ao menos uma raiz real. chamaremos ela de a. Se as outras duas raizes forem também reais, temos as raizes a, b e c

pelas relações de girard:
a+b+c=2/5
ab+ac+bc = -4/5
abc = -8

Isola a na terceira e substitui na primeira e segunda, ai vc vai ter um sistema 2 por 2, que é relativamente simples de resolver.

Mas se voce ja souber que tem duas raizes complexas, fica:
Raizes: a, b+ci, b-ci
como têm o mesmo módulo, b²+c² = a²

Pelas relações de Girard:
a(b+ci)(b-ci) = -8
a*a² = -8
a = -2
Com uma das raizes vc faz Briot ruffini, fatora ou continua com as relaçoes de Girard
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