Variações de z tendo o mesmo módulo

Achei complicadinho este exercício de números complexos.

Será que podem me ajudar?

Encontre o valor de z, sabendo que 1/z e (1-z) possuem o mesmo módulo.

Obrigado

z = a + b.i

1/z = 1/(a + b.i) = (a - b.i)/(a + b.i).(a - b.i) ---> 1/z = (a - b.i)/(a² + b²) --->

1/z = a/(a² + b²) - b.i/(a² + b²) 

|1/z|² = [a/(a² + b²)]² + [-b/(a² + b²)]² ---> Calcule ---> I

1 - z = 1 - (a + b.i) ---> 1 - z = (1 - a) - b.i

|1 - z|² = (1 - a)² + (-b)² ---> |1 - z|² = a² + b² - 2.a + 1 ---> II

Iguale I e II

Ainda assim não entendo, Élcio. Não vamos ficar com duas incógnitas? Não entendo.

Veja:

[a/(a² + b²)]² + [-b/(a² + b²)]² = a² + b² - 2.a + 1
a² / (a² + b²)² + b²/(a² + b²)² = a² + b² - 2.a + 1
(a² + b²)/(a²+b²)² = a² + b² - 2.a + 1
1 / (a² + b²) = a² + b² - 2.a + 1
1 = (a² + b² - 2.a + 1)(a² + b²)
1 = (|z|² - 2.a + 1)(|z|²)
1 = (|z|²)² - 2.a.|z|² + 1.|z|²
|z|² := k
k² - 2.a.k + 1.k - 1 = 0
k² - (2.a + 1).k - 1 = 0
k = (2.a + 1 ± sqrt((2.a + 1)² + 4)) / 2
2.|z|² = 2.a + 1 ± sqrt((2.a + 1)² + 4)
2.(a²+b²) = 2.a + 1 ± sqrt((2.a + 1)² + 4)
2.(a²+b²) - (2.a + 1) = ± sqrt((2.a + 1)² + 4)

Elevo os dois lados ao quadrado:

4.(a²+b²)² - 2.2.(a²+b²).(2.a + 1) + (2.a + 1)² = (2.a + 1)² + 4
4.(a²+b²)² - 4.(a²+b²).(2.a + 1) = 4
4.(a²+b²)²(1 - (2.a + 1)) = 4
4.(a²+b²)²(- 2.a) = 4
(a²+b²)²(- 2.a) = 1

???

Realmente parece bem complicado. Encontrei apenas um erro de sinal na sua resolução:

..................................
|z|² := k
k² - 2.a.k + 1.k - 1 = 0
k² - (2.a - 1).k - 1 = 0
.................................