dobro do perímetro de EFG.
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dobro do perímetro de EFG.
por arimateiab Sex 27 maio 2011, 18:27
Estão esboçados abaixo os triângulos equiláteros ABC,
CDE e EFG que têm os lados AC, CE e EG na mesma reta. Os lados
de ABC e CDE medem 5 e 3, respectivamente, e o ângulo BDF mede
120º. Indique o dobro do perímetro de EFG.
R/ 45
CDE e EFG que têm os lados AC, CE e EG na mesma reta. Os lados
de ABC e CDE medem 5 e 3, respectivamente, e o ângulo BDF mede
120º. Indique o dobro do perímetro de EFG.
R/ 45
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"Quando recebemos um ensinamento devemos receber como um valioso presente e não como uma dura tarefa. Eis aqui a diferença que transcende."
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Re: dobro do perímetro de EFG.
por Elcioschin Sex 27 maio 2011, 19:04
Todos os ângulos internos dos triângulos equiláteros valem 60º
Seja B^DC = M ----> F^DE = 180º - M ----> senB^DG = senF^DE
Seja x o lado do triângulo EFG
Triângulo BCD ---> BD² = 5² + 3² - 2*5*3*cos60° ----> BD = \/19
BD/sen60º = BC/senB^DC ----> \/19/(\/3/2) = 5/senM ----> senM = 5*\/57/38
Triângulo FDE ----> DF² = x² + 3² - 2*x*3*cos60° ----> DF = \/(x² - 3x + 9)
DF/sen60º = EF/senF^DE ----> \/(x² - 3x + 9)/(\/3/2) = x/senM ----->
\/(x² - 3x + 9)/(\/3/2) = x/(5*\/57)/38
Elevando ao quadrado e simplificando cgaga-se a : 114x² - 1425x + 4275 = 0
Raízes: x = 5 (não interessa) e x = 15/2
Dobro do perímetro = 2*(3x) = 45
Seja B^DC = M ----> F^DE = 180º - M ----> senB^DG = senF^DE
Seja x o lado do triângulo EFG
Triângulo BCD ---> BD² = 5² + 3² - 2*5*3*cos60° ----> BD = \/19
BD/sen60º = BC/senB^DC ----> \/19/(\/3/2) = 5/senM ----> senM = 5*\/57/38
Triângulo FDE ----> DF² = x² + 3² - 2*x*3*cos60° ----> DF = \/(x² - 3x + 9)
DF/sen60º = EF/senF^DE ----> \/(x² - 3x + 9)/(\/3/2) = x/senM ----->
\/(x² - 3x + 9)/(\/3/2) = x/(5*\/57)/38
Elevando ao quadrado e simplificando cgaga-se a : 114x² - 1425x + 4275 = 0
Raízes: x = 5 (não interessa) e x = 15/2
Dobro do perímetro = 2*(3x) = 45
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Re: dobro do perímetro de EFG.
por arimateiab Sex 27 maio 2011, 23:16
Obrigado Elcio:D
Excepcionalíssima solução.
Só não consegui enxergar: F^DE = 180º - M ----> senB^DG = senF^DE
Poderia me explicar?
Excepcionalíssima solução.
Só não consegui enxergar: F^DE = 180º - M ----> senB^DG = senF^DE
Poderia me explicar?
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Re: dobro do perímetro de EFG.
por Elcioschin Sáb 28 maio 2011, 11:03
Soma dos ângulos EM TORNO do vértice D = 360º:
B^DF + F^DE + C^DE + B^DC = 360º
120º + F^DE + 60º + B^DC = 360º
F^DE + B^DC = 180º
F^DE + B^DC = 180º
F^DE = 180º - B^DC ----> B^DC = M
Ângulos SUPLEMENTARES tem o mesmo seno ----> senF^DE = sennB^DC
B^DF + F^DE + C^DE + B^DC = 360º
120º + F^DE + 60º + B^DC = 360º
F^DE + B^DC = 180º
F^DE + B^DC = 180º
F^DE = 180º - B^DC ----> B^DC = M
Ângulos SUPLEMENTARES tem o mesmo seno ----> senF^DE = sennB^DC
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