Sistema de equações lineares

O valor de a para que o sistema (https://i.servimg.com/u/f62/19/80/88/74/screen17.png), nas incógnitas x, y e z, seja possível e indeterminado é: (Não há gabarito.)
a) – 52.
b)-34/7.
c)34/7.
d) 22.
e) 52.

Minha tentativa: Para que o sistema seja possível e indeterminado, ele possui infinitas soluções. Penso que deveria calcular os valores de x, y e z. Então, utilizei o método do escalonamento, contudo não consegui cancelar o termo "ax" da terceira equação para prosseguir. Seria mais fácil resolver esse sistema utilizando a regra de Cramer? Agradeço desde já.

O sistema será possível e indeterminado quando o determinante 'incompleto' (não lembro o nome do termo apropriado disso) for nulo. Acredito que seja muito mais fácil dessa forma, mas também deveria ter dado certo por escalonamento. Vou tentar resolver o problema e já te retorno uma explicação melhor.

Edit: certo, fiz por escalonamento mesmo e cheguei em -34/7

2x + 3y - z = 0 [I]
x + 4y + z = 0 [II]
ax - 3y + 5z = 0 [III]

(I) em (II): 3x + 7y = 0 [IV]
(I) em (III): x(10+a) + 12y = 0 [V]

(IV) em (V), após multiplicar a primeira equação por 12 e a segunda por -7:
x(36-7(10+a)) = 0 [VI]

Como o sistema deve ser possível e indeterminado, o coeficiente de 'x' em [VI] deve ser nulo.

Portanto, a = -34/7

Edit 2: Faz por Cramer mesmo, cara. Gastei 30 segundos para chegar na mesma resposta. É muito mais prático e claramente mais eficiente, mas também tem como resolver por escalonamento.

SpaceFunction escreveu:O sistema será possível e indeterminado quando o determinante 'incompleto' (não lembro o nome do termo apropriado disso) for nulo. Acredito que seja muito mais fácil dessa forma, mas também deveria ter dado certo por escalonamento. Vou tentar resolver o problema e já te retorno uma explicação melhor.

Edit: certo, fiz por escalonamento mesmo e cheguei em -34/7

2x + 3y - z = 0 [I]
x + 4y + z = 0 [II]
ax - 3y + 5z = 0 [III]

(I) em (II): 3x + 7y = 0 [IV]
(I) em (III): x(10+a) + 12y = 0 [V]

(IV) em (V), após multiplicar a primeira equação por 12 e a segunda por -7:
x(36-7(10+a)) = 0 [VI]

Como o sistema deve ser possível e indeterminado, o coeficiente de 'x' em [VI] deve ser nulo.

Portanto, a = -34/7

Edit 2: Faz por Cramer mesmo, cara. Gastei 30 segundos para chegar na mesma resposta. É muito mais prático e claramente mais eficiente, mas também tem como resolver por escalonamento.

Imaginei que seria mais fácil usar a regra de Cramer. Muito obrigado.