logaritimos

por jose16henrique campos de Sex 17 Nov 2017, 12:16

a questão pede pra resolver o sistema porém não estou conseguindo alguém pode me ajudar?

\begin{cases}2x^{y}-x^{-y}=1\\ \log_{2}y=\sqrt{x} \end{cases}

por evandronunes Sex 17 Nov 2017, 17:48

$\begin{cases}2x^{y}-x^{-y}=1 \ \ (1)\\ \log_{2}y=\sqrt{x} \ \ \ \ \ (2) \end{cases}$

De (1) vem,

$2x^y- x^{-y}=1 \ \ \Rightarrow \ \2x^y- \frac{1}{x^y}=1$

Fazendo $a=x^y$ tem-se,

$2a - 1/a = 1 \ \ \Rightarrow \ \ 2a^2 - a -1=0$

cujas a soluções são 1 e -1/2.

Como y > 0 e x ≥ 0, temos que $a=x^y=1$ . Assim,

$x^y = 1 \ \ \Rightarrow \ \ \log x^y = \log 1 \ \ \Rightarrow \ \ y.\log x = 0$ .

Devido y > 0, então $\log x = 0$ , o que implica que x = 1.

Substituindo x = 1 em (2), temos:

$\log_{2} y = 1 \ \ \Rightarrow \ \ y = 2$

Portanto, x = 1 e y = 2.

por jose16henrique campos de Sáb 18 Nov 2017, 09:10

evandronunes escreveu: $\begin{cases}2x^{y}-x^{-y}=1 \ \ (1)\\ \log_{2}y=\sqrt{x} \ \ \ \ \ (2) \end{cases}$

De (1) vem,

$2x^y- x^{-y}=1 \ \ \Rightarrow \ \2x^y- \frac{1}{x^y}=1$

Fazendo $a=x^y$ tem-se,

$2a - 1/a = 1 \ \ \Rightarrow \ \ 2a^2 - a -1=0$

cujas a soluções são 1 e -1/2.

Como y > 0 e x ≥ 0, temos que $a=x^y=1$ . Assim,

$x^y = 1 \ \ \Rightarrow \ \ \log x^y = \log 1 \ \ \Rightarrow \ \ y.\log x = 0$ .

Devido y > 0, então $\log x = 0$ , o que implica que x = 1.

Substituindo x = 1 em (2), temos:

$\log_{2} y = 1 \ \ \Rightarrow \ \ y = 2$

Portanto, x = 1 e y = 2.

muito obrigado

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