Logaritmo e PG- Enem 2016

Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3 000° C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min. Use 0,477 como aproximação para log10(3) e 1,041 como aproximação para log10(11). O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30°C é mais próximo de 
a) 22. 
b) 50. 
c) 100. 
d) 200. 
e) 400.

O Objetivo trouxe uma resolução que considera 3000*(0,99)^n=30, e aí usando log chega na alternativa d). 
Eu tentei fazer por PG, em que
a1= 3000 e q=0,99
então: 30=3000*(0,99)^(n-1)
Por que tá errado dessa forma??
Pra mim faz sentido...

Por que faz sentido para você?

Por que é uma PG, e além dessa ser a fórmula da PG, dá pra descobrir por tentativa
a1= 3000
a2= 3000*0,99 após 30 min
a3= a2*0,99= 3000*(0,99)²= a1*q^(3-1) após mais 30 min

Você confunde o n com o número de vezes que passaram 30 min.
No primeiro termo, a1, está sendo contado que ele já passou 30 min mas não passou.

Exato, no final ficará:

log1 - log100 = (log3^2 + log11 - log100).(n-1)

Com os dados do enunciado:
-2 = (2.0,477 + 1,041 - 2).(n-1)
2,005/0,005 = n
n = 401

Sendo que o número de vezes q passou 30 min deveria ser 400, ou seja, contou-se uma vez a mais

KlausITA2018 escreveu:No primeiro termo, a1, está sendo contado que ele já passou 30 min mas não passou.

Exatamente. Na minha resolução, a1 é quando ainda está em 3000 ºC. Só em a2 é que passou 30 min

Você está contando errado!!!

A P.G. vai diminuir 1% a cada 30 minutos ou 0,5 horas. Você não pode pensar matemática de maneira inflexível senão você entrará em paradoxos como "se é uma P.G. porque a fórmula "normal" não funciona?". Abra mais sua mente. O tempo "t" será incluído na fórmula a cada 0,5 horas por isso a fórmula será f(t)=3000.(0,99)^2t ao invés da sua forma tradicional.  Vamos provar.
 
t=0

f(0)=3000.(0,99)^2t
f(0)=3000

t=0,5

f(0,5)=3000.(0,99)^2.0,5
f(0,5)=3000.(0,99)¹
f(0,5)=2970

Por isso não devemos pensar sempre em uma P.G. como a fórmula sendo an=a1.q^(n-1) pois dependendo da questão só saber a fórmula não a ajudará. Entendeu? 


f(t)=3000.(0,99)^2t
log 1= log 100.(0,99)^2t
0= log 100+(2t)log(99/100)
-1=t(log 99 - log 100)
-1=t(log 3².11 - 2)
-1=t(2(0,477) + 1,041 - 2)
t=1/0,005
t=200

Obrigada!!!

De nada